Orthonormalbasis

22.09.2006, 11:37	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis Hallo Ich hätte gerne gewusst, wie man alternativ an die folgende Aufgabe rangehen kann (im Gegensatz dazu, wie ich vorgegangen bin): Sei $\begin{eqnarray} W=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\|x_1+x_2+x_3=0 \} \end{eqnarray}$ Gesucht ist nun eine Orthonormalbasis IB={v1,v2} von W (bzgl. des Standardskalarprodukts) Meine Vorgehensweise: Ich habe mir x1+x2+x3=0 als Ursprungsebene vorgestellt und entsprechend W als Menge aller Punkte (bzw. Ortsvektoren zu diesen Punkten) aufgefasst, die in dieser Ebene liegen. Dann habe ich mir 3 Punkte überlegt, welche in der Ebene liegen, woraus ich dann eine Parameterdarstellung erzeugen wollte. Meine Wahl: A=(0/0/0) B=(0/1/-1) C=(-2/1/1) Daraus entsteht ja $\begin{eqnarray} E:\vec{x} =\vec{OA} +k\cdot \vec{AB}+l \cdot \vec{AC} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} E:\vec{x} = k\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +l\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die 2 Spannvektoren sind ja schon (durch geschickte Wahl der Punkte ) orthogonal zueinander, da ihr Skalalprodukt null ergibt. Durch Normierung der Vektoren erhält man dann: $\begin{eqnarray} \vec{v_1 } =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v_2 } =\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Soweit also mein Vorschlag. Da in der Vorlesung aber nie über Ebenenformen gesprochen wurde, wird die Aufgabe mit Sicherheit auch anders zu lösen sein und mich würde nun interessieren wie man sich unabgängig des "Ebenengedankens" der Lösung nähern kann. Gruß Björn
22.09.2006, 12:06	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Grundkörper IR befindest du dich nun mal im Anschauungsraum, da kannst du dich ruhig so annähern. Über anderen Körpern wird's vielleicht nicht ganz so anschaulich - aber dass hier ein LGS vorliegt, jede Gleichung eine (Urpsrungs)Hyperebene darstellt, der (affine) Lösungsraum also der Schnitt der Hyperebenen, in diesem Falle also zweidimensional ist, das ist über jedem Körper gleich. Dass du dann einfach zwei linear unabhängige "Spannvektoren" erraten kannst, geht auch über jedem Körper, insb. müssen die dann auch immer schon eine Basis bilden. Das einzige, bei dem mehr Formalismus nötig sein könnte (du hattest Glück, das ist okay) wäre das orthonormieren.
22.09.2006, 12:35	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du mit "mehr Formalismus" beim Orthonormieren, dass man sich dann z.B. mit dem Gram-Schmidt-Verfahren nähern sollte? Gruß Björn
22.09.2006, 12:44	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre auf jeden Fall eine gute Möglichkeit, wenn deine beiden gefundenen Vektoren nicht senkrecht stehen - aber wie gesagt, wenn du vorher zwei linear unabhängige Vektoren errätst und diese zufällig schon senkrecht aufeinander stehen, dann hast du einfach Glück gehabt und das ist imho mehr als okay. Glück ist eines der wenigen Dinge in der Mathematik mit dem man manche Formalismen umgehen kann. Merke dir das Verfahren aber auch mit Gram-Schmidt, solltest du einmal mehr Vektoren erraten müssen, wirst du dich nicht mehr auf dein Glück verlassen können. Ein Algorithmus sieht bei sowas aber oft so aus: - Dimension bestimmen (bei einfachen LGSen einfach) - beliebige Basis bestimmen (raten! bzw. "finden"!) - Basis gegebebenfalls mit Gram Schmidt orthonormieren

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