Menge - innere und isolierte Punkte

25.08.2009, 05:13

ge88

Menge - innere und isolierte Punkte

Sei $\begin{eqnarray*} M := \{2n + \frac{x}{|x|+1} \ | \ n \in \mathbb N, \ x \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ . Man bestimme die Haeufungspunkte, die inneren und die isolierten Punkte von M und untersuche M auf Offenheit und Abgeschlossenheit.

Die Definitionen kenne ich, komme aber trotzdem kein Stueck voran. Ich kann mir die Menge ueberhaupt nicht vorstellen. Was mache ich jetzt?
Danke!

25.08.2009, 09:47

Mazze

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Schau dir erstmal die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x} {1 + |x|} + 2 \end{eqnarray*}$

an. Der Graph dieser Funktion ist in der Menge enthalten. Genauso wie alle Graphen von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x} {1 + |x|}+ 2n \end{eqnarray*}$

und das ist dann auch schon deine Menge. Die Funktion wird also um gerade natürliche Zahlen nach oben verschoben. Reicht dir das schon?

25.08.2009, 14:01

ge88

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1) Isolierte Punkte : Die Menge besitzt keine.

2) Innere Punkte: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \{ 2n-1 \ | \ n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$

3) Haeufungspunkte: alle Punkte aus M und zusaetzlich die Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} \{ 2n-1 \ | \ n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$

4) Offenheit: M ist offen, denn ich kann die Menge als Vereinigung offener Mengen aufschreiben.

5) Abgeschlossenheit : M ist nicht abgeschlossen, denn ich kann eine Folge konstruieren, die gegen eine Zahl konvergiert, was nicht in M enthalten ist.

Stimmts?

25.08.2009, 14:27

sergej88

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also für mich sieht M so aus:

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ x \in \mathbb R | x > 1, x \neq 2n - 1, n \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

zu 2: nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{+} \end{eqnarray*}$ ??

25.08.2009, 14:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von sergej88
$\begin{eqnarray*} M = \left\{ x \in \mathbb R | x > 1, x \neq 2n - 1, n \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Jupps. Oder anschaulicher:

$\begin{eqnarray*} M = (1,\infty)\setminus\{3,5,7,\dots\}. \end{eqnarray*}$

25.08.2009, 14:38

Mazze

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Über welches M reden wir jetzt hier?

25.08.2009, 15:32

ge88

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Zitat:

Original von Mazze
Über welches M reden wir jetzt hier?

Wie ist diese Frage zu verstehen?

Zitat:

Original von sergej88
zu 2: nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{+} \end{eqnarray*}$ ??

Jo, hast Recht.

Ich mache es jetzt so

2) Innere Punkte: $\begin{eqnarray*} (1,\infty) \setminus \{ 2n+1 \ | \ n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$

Und das soll ja der Menge entsprechen, denn eine offene Menge besteht nur aus inneren Punkten.

Da niemand etwas darueber sagt, gehe ich mal davon aus, dass der Rest stimmt. Also danke fuer die Hilfe, Leute!

25.08.2009, 17:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mazze
Über welches M reden wir jetzt hier?

Über das einzige in diesem Thread vorkommende.

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