Produktionsfunktion, Zusatzfrage

25.08.2009, 10:26

Debru

Produktionsfunktion, Zusatzfrage

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe, aus welcher heraus sich folgende Gewinnfunktion ergibt:

$\begin{eqnarray*} G(Q)=-54Q+3Q^{2}-0,02Q^{3}-500 \end{eqnarray*}$

Dann kommen ein paar Fragen, zu welchen mir die Lösungen klar sind. Die letzte Frage aber stellt sich etwas anders dar:

Sei $\begin{eqnarray*} Q** \end{eqnarray*}$ das Produktionsniveau, welches den Gewinn pro hergestellter ME maximiert. Beachten Sie, dass

$\begin{eqnarray*} G'(Q**)=\frac{G(Q**)}{Q**} \end{eqnarray*}$

wobei G die Gewinnfunktion bezeichnet. Ist dies ein Zufall?

Hinweis: Die Berechnung des genauen Wertes $\begin{eqnarray*} Q** \end{eqnarray*}$ ist nicht erforderlich! (und der Hinwies eben soll recht wichtig sein...)

Ich habe folgendermaßen argumentiert und das ist auch das einzige, was mir sinnvoll erscheint:

Wenn die 1. Ableitung der Gewinnfunktion an der Stelle des Maximums gleich die Gewinnfunktion an der Stelle des Maximums geteilt durch den Wert im Maximum sein soll, dann ist 0 = eben der oben dargestellte Bruch. Das kann aber nur sein, wenn der Zähler = 0 ist. Also muss es ein Zufall sein, da hierfür der maximale Gewinn eben = 0 sein muss.

Das aber soll nicht richtig sein. Die Frage würde soviel bedeuten, wie die Aufforderung, aufzuzeigen, dass eben die Gleichung hier gültig ist. Dazu solle ich einfach mal die Gewinnfunktion formal ableiten. Nur komme ich auch da auf nichts vernünftiges. Mir ist das hier einfach nicht begreiflich...

25.08.2009, 11:30

addor

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RE: Produktionsfunktion, Zusatzfrage
Das G in der Frage ist aber nicht die Gewinnfunktion, die Du angibst, oder? Wenn ich mal trotz Hinweis den genauen Wert von $\begin{eqnarray*} Q**=90 \end{eqnarray*}$ ausrechne, dann erhalte ich das Maximum bei $\begin{eqnarray*} Q**=90 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G(90)=4360 \end{eqnarray*}$ . Somit müsste sein: $\begin{eqnarray*} 0=\frac{4360}{90} \end{eqnarray*}$ . Sehr witzig!

Vielleicht hat die Frage etwas damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dQ}ln(G(Q)=\frac{G'(Q)}{G(Q)} \end{eqnarray*}$ ist

25.08.2009, 11:30

tigerbine

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RE: Produktionsfunktion, Zusatzfrage

Zitat:

... Gewinn pro hergestellter ME ...

Das ergibt (Strich für Durschnittlicher Gewinn)

$\begin{eqnarray*} \overline{G}:=\frac{G(Q)}{Q} \end{eqnarray*}$

Wo wird der nun Maximal? Notwendig: Nullstelle der ersten Ableitung.

$\begin{eqnarray*} \overline{G}'=\frac{G'(Q)\cdot Q - G(Q)\cdot 1}{Q^2} \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich die Forderung

$\begin{eqnarray*} G'(Q)\stackrel{!}=\frac{G(Q)}{Q} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das aber soll nicht richtig sein. Die Frage würde soviel bedeuten, wie die Aufforderung, aufzuzeigen, dass eben die Gleichung hier gültig ist. Dazu solle ich einfach mal die Gewinnfunktion formal ableiten. Nur komme ich auch da auf nichts vernünftiges. Mir ist das hier einfach nicht begreiflich...

Wieso die Gewinnfunktion ableiten... Was ist an dem obigen Weg, den doch (eigentlich) auch du gehen wolltest, falsch?

Ferner fehlt die Eigentliche Frage zu der Aufgabe, die dir unklar ist. Ich entdecke nur Aussage setze und nicht, was man zeigen soll. Wink

25.08.2009, 11:39

addor

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RE: Produktionsfunktion, Zusatzfrage
Ja natürlich "pro hergestellter ME". Tigerbine hat recht...

25.08.2009, 13:15

Debru

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Wie sich zeigt ist die Frage gar nicht nötig, denn die braucht man nicht. Es hat sich so aber dann auch erledigt, weil auch ich das mit dem Maximum des Gewinns pro Stück nicht beachtet habe. Ich hab´s so aufgefasst, als solle der maximale Gesamtgewinn = den Bruch ergeben und dann wäre meine Argumentation durchaus korrekt.

In sofern ist mir mein Fehler nun klar. Vielen Dank.

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