Integralrechnung (Einleitung)

25.08.2009, 12:23	KäptenBlaubär	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung (Einleitung) Hallo, in der Schule haben wir mit der Integralrechnung angefangen. In der Schule habe ich alles verstanden, doch mit der Hausaufgabe komme ich nicht weiter. Die Aufgabe besteht darin: Es wurde der rechte Parabelast der Normalparabel in ein Koordinatensystem gezeichnet und bei x=1 eine Parallele zur Y-Achse. Nun haben wir versucht, nährungsweise den Flächeninhalt, den Parabelast (der Abschnitt von x=0 bis x=1) x-Achse und die Gerade x=1 einschließen, zu bestimmen. Dafür haben wir die Fläche (ich hoffe, ich habe es anschaulich genung beschrieben, es ähnelt einem Dreieck mit gebogener Hypotenuse) in zehn gleich breite Abschnitte eingeteilt, also Balken, die so hoch sind, dass sie mit der linken oberen Ecke den Parabelgraphen berühren. Mit der Untersumme S haben wir angefangen zu rechnen: Breite eines Streifens: 0,1 Höhe des zweiten Streifens: 0,1² .... des dritten Streifens: 0,2² usw.. Fläche: 0,10,1² + 0,10,2² +0,10,3² .... ___________ gesamt 0,285 (Gesamtfläche Streifen) Die so ausgerechnete Fläche ist natürlich kleiner als die tatsächliche. Deswegen haben wir noch die Obersumme S ausgerechnet: 0,285+0,10,1²=0,385 Diesen Rechenschritt habe ich auch verstanden, es aber nun anschaulich zu erklären fällt mir schwer, aber natürlich kennt ihr die Begriffe. Ich dachte nur, ich gebe mir Mühe, dass ihr genau wisst, wie weit ich schon bin und wo es genau hakt. So, die Fläche ist jetzt natürlich zu groß. Um die gesuchte Fläche nährungsweise bestimmen zu können, wird nun der Mittelwert bestimmt, A= 0,335 (immer noch zu groß). So, bis hierhin ist mir alles klar. Weil es aber immer noch viel zu ungenau ist, sollen wir dieselbe Rechnung nun für n Streifen durchführen, n anschließend gegen unendlich laufen lassen. Da komme ich aber nicht weiter. Für die Untersumme S gilt: Breite eines Streifens = 1/n Höhe des zweiten Streifens= (1/n)² Höhe des dritten Streifens = (1/2n)².. usw. Fläche: des zweiten Streifens: 1/n * (1/n)² = 1/n³ des dritten Streifens: 1/n * (1/2n)² = 1/4n³ usw.... alles zusammen: 1/ ( n³+4n³+9n³.....+ [n- 1/n]n³ (??) ) ich kann es mir nur als eine Art Zahlenfolge vorstellen, wobei ich mir bei dem letzten Summanden auch unsicher bin. Wie ich damit nun weiterkommen soll, geschweige denn etwas rechnen soll, weiß ich nicht. Es scheitert ja scheinbar schon am korrekten Darstellen dieser Summe, sofern das überhaupt der richtige Ansatz ist. Kann mir jemand weiterhelfen, wie ich die Aufgabe nach obigen Schema für n Streifen ausrechnen kann? Ganz liebe Grüße
25.08.2009, 12:42	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung (Einleitung) Hallo Käpten Blaubär, du hast das Verfahren für 10 Streifen gut geschildert und für die Verallgemeinerung mit n Streifen zunächst richtig gedacht, dass Breite eines Streifens = 1/n und Höhe des zweiten Streifens= (1/n)² Jetzt kommt ein Fehler: Beim Dritten Streifen bist du an der Stelle $\begin{eqnarray} x=2\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ , also ist Höhe des dritten Streifens = $\begin{eqnarray} (2\frac{1}{n})^2 \end{eqnarray}$ ... usw. und deshalb Fläche: des zweiten Streifens: 1/n * (1/n)² = 1/n³ des dritten Streifens: 1/n * $\begin{eqnarray} (2\frac{1}{n})^2 = 2^2 * \frac{1}{n^3} = 4 * \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ usw.... Wenn du jetzt die Summe bildest, ergibt sich ein Ausdruck, der etwas leichter weiter zu verarbeiten ist. Dein Ansatz war aber gut gedacht und führt dich mit dieser Korrektur auch weiter. Bei der Obersumme dann entsprechend... Gruß, Kopfrechner
25.08.2009, 17:03	KäptenBlaubär	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, so ein blöder Fehler.. Okay, aber wie rechne ich da dann weiter? Die Summe ist ja "n" lang, oder? Ich weiß gar nicht, wie ich das als mathematischen Ausdruck aufschreiben kann und damit rechnen soll. Kann man mir vielleicht noch einen kleinen Denkanschubser in die richtige Richtung geben? Wie kann ich sowas denn gegen unendlich laufen lassen und dann am Ende eine Zahl, also die nährungsweise "wirkliche" gesuchte Fläche herauszubekommen?
25.08.2009, 19:12	KäptenBlaubär	Auf diesen Beitrag antworten »
Soso, ich habe noch versucht, an der Aufgabe weiterzurechnen, aber es will nicht so recht klappen: Untersumme= $\begin{eqnarray} 1/n^{3} (1+2+4+9+16+...+n) \end{eqnarray}$ oder habe ich als letzen Summanden nicht n sondern etwas anderes? Dabei bin ich mir nämlich nicht so sicher! = $\begin{eqnarray} 1/n^{3} ( n(n+1)(2n+1)/6) \end{eqnarray}$ diese Formel zum Zusammenfassen von Partialsummen habe ich aus der Formelsammlung. Bisher noch nie gesehen oder davon gehört, bei der Herleitung tue ich mir auch schwer (habe gegoogelt, auch Herleitungen gefunden, aber die verstehe ich nicht, was schon damit anfängt, dass da immer so ein großes, eckiges E steht, mit etwa k darunter und ich diesen Ausdruck bisher noch nicht im Unterricht hatte und , Schande über mich, auch nicht weiß, wie ich ihn im Internet finden soll, so langsam wird es mir richtig peinlich ) so, dann habe ich den Term aufgelöst: $\begin{eqnarray} n(n+1)(2n+1)/(6n³) \end{eqnarray}$ vereinfacht: $\begin{eqnarray} (2n²+3n+1)/(6n²) \end{eqnarray}$ So, das wäre nun die Untersumme. Zur Obersumme: $\begin{eqnarray} (2n²+3n+1)/(6n²) 1/n1² \end{eqnarray}$ Stimmt das so bisher überhaupt? Theoretisch müsste ich ja nun den Mittelwert bilden und dann den Grenzwert, daran mache ich mich auch mal und zeige euch dann, was ich so rausbekomme, sofern es klappt. Würde mich freuen, wenn ich doch vielleicht noch inzwischen eine Rückmeldung zu meinem bisherigen Rechenweg bekommen könnte. EDIT von Calvin LaTeX korrigiert.
25.08.2009, 19:15	KäptenBlaubär	Auf diesen Beitrag antworten »
scheinbar konnte ein Teil meines Beitrags nicht angezeigt werden, siehe Untersumme: also, ich wiederhole Untersumme= $\begin{eqnarray} 1/n³ (1+2+4+9+16+...+n) \end{eqnarray}$ oder habe ich als letzen Summanden nicht n sondern etwas anderes? Dabei bin ich mir nämlich nicht so sicher!
25.08.2009, 19:31	KäptenBlaubär	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich schon wieder. Es will einfach nichts Sinnvolles herauskommen. Auf folgenden Mittelwert bin ich gekommen: $\begin{eqnarray} (2n²+3n+1)/(6n²)+ 1/(2n) \end{eqnarray}$ Ich verliere gerade jeglichen Überblick. Wenn ich hier den Grenzwert bilde, n gegen Unendlich laufen lasse, kommt doch auch Unendlich raus. Das kann doch alles nicht stimmen! Wie soll ich denn so eine einfache Zahl, den Flächeninhalt, ausrechnen? Ich verstehe echt nichts mehr
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26.08.2009, 05:31	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast weiter gut überlegt, es gibt aber noch kleine Fehler: Die Untersumme enthält die Summe der ersten (n-1) Quadratzahlen Untersumme= $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^3} (1^2+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2) \end{eqnarray}$ , deshalb musst du in der Summenformel n durch n-1 ersetzen. Wir können aber (bequemer) auch die Obersumme betrachten, die ist nämlich $\begin{eqnarray} S_{oben}=\frac{1}{n^3} * (1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2) \end{eqnarray}$ und für diese gilt weiter mit der Summenformel $\begin{eqnarray} S_{oben}= \frac{1}{n^3} * ( n(n+1)(2n+1)/6) \end{eqnarray}$ > so, dann habe ich den Term aufgelöst: $\begin{eqnarray} n(n+1)(2n+1)/(6n³) \end{eqnarray}$ > vereinfacht: $\begin{eqnarray} (2n²+3n+1)/(6n²) \end{eqnarray}$ Es ist vorteilhafter, nicht auszumultiplizieren, sondern umzuschreiben: $\begin{eqnarray} S_{oben}= \frac{1}{6}\frac{ n(n+1)(2n+1)}{n^3} \end{eqnarray}$ und jetzt $\begin{eqnarray} n^3 \end{eqnarray}$ im Nenner aufzuteilen: $\begin{eqnarray} S_{oben}=\frac{1}{6} * \frac{n}{n}* \frac{n+1}{n} * \frac{2n+1}{n}=\frac{1}{6} * \frac{n+1}{n} * \frac{2n+1}{n} \end{eqnarray}$ Jetzt weiter aufteilen: $\begin{eqnarray} S_{oben}=\frac{1}{6} * (1+\frac{1}{n}) * (2+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ Jetzt hast du einen Ausdruck, den man gut für den Fall untersuchen kann, dass n immer größer wird und im Grenzfall gegen [latex]\infty[l/atex] geht. Als "Kontrollbeispiel" kannst du mal n=10 einsetzen, das Ergebnis kennst du ja schon. Gruß, Kopfrechner

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