Wann * und wann +?

25.08.2009, 15:09

Fragefuchs

Wann * und wann +?

Hallo,
ich habe Stochastik im Abitur gehabt, jedoch komme ich mit dem, was wir gelernt haben nun an der Uni ganz durcheinander, nämlich:

Wann addiere bzw multipliziere ich Wahrscheinlichkeiten, wenn ich ein "und" bzw ein "oder" in der Aufgabenstellung habe?

Dies scheint mir abhängig davon zu sein, ob die Ereignisse voneinander abhängig sind, oder nicht. Aber ich sehe hier irgendwie kein Schema. In mir ist noch verankert: Wenn ein oder vorkommt, addieren, wenn ein und vorkommt, multiplizieren verwirrt

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?

25.08.2009, 15:58

Kopfrechner

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RE: Wann * und wann +?
Hallo,
du liegst schon fast richtig ...

Es wird addiert, wenn ein die Wahrscheinlichkeit eines "ODER" Ereignisses berechnet werden soll, das Ereignis ist eine Vereinigungsmenge.
Beisp: 1x mit 6-er Würfel würfeln; P("Zahl ungerade" oder "Zahl>5")=P("Zahl ungerade") + P("Zahl>5").

Aber aufpassen! Manchmal muss man noch die Wahrscheinlichkeit des Schnittereignisses subtrahieren, weil man sonst doppelt zählt! Stichwort: Additionsregel
Beisp: 1x mit 6-er Würfel würfeln; P("Zahl ungerade" oder "Zahl>4")=P("Zahl ungerade") + P("Zahl>4") - P("Zahl ungerade UND Zahl>4), sonst hätte man die "5" doppelt gezählt.

Es wird multipliziert bei UND-Ereignissen (längs von Pfaden im Baum), das Ereignis ist eine Schnittmenge, Stichwort: [Pfadrege

Gruß, Kopfrechner

25.08.2009, 15:59

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@Fragefuchs

Du redest von den beiden Rechenregeln

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A) + P(B) \end{eqnarray*}$ für disjunkte $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{eqnarray*}$ für unabhängige $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ .

Bei aller strukturellen Ähnlichkeit handelt es sich inhaltlich um grundverschiedene Dinge, die sich nicht mal so locker flapsig in Merkregeln gießen lassen. Im übrigen geht es beim Ergebnis einmal um die Vereinigungs- und das andere Mal um die Durchschnittswahrscheinlichkeit - also nochmal: verschiedene Dinge.

EDIT: Adressat "Fragefuchs" ergänzt, s.u. Augenzwinkern

25.08.2009, 16:34

Kopfrechner

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Hallo Artur Dent,

ich erlaube mir die Bemerkung, dass ich die beiden Fälle für den Additionssatz im Beispiel erläutert habe, ich hätte aber auch notieren können:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A) + P(B)- P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ für A,B Teilmengen vom $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$

Einverstanden?

Ich habe mir außerdem erlaubt, an die etwas "flapsig" formulierte Frage verbal anzuschließen, bei Bedarf hakt Fragefuchs sicher ein ...

Gruß, Kopfrechner

25.08.2009, 16:43

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Vielleicht hast du mich missverstanden: Mein Beitrag bezog sich auf Fragefuchs - deinen Beitrag hatte ich noch gar nicht gelesen (1 Minute Zeitdifferenz). Augenzwinkern

17.09.2009, 15:31

Fragefuchs

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Meine Frage war eher so gemeint:

Ich kann ja die Regel vom letzten Beitrag von Kopfrechner benutzen wie sie da steht, aber ich kann sie auch benutzen, indem ich nach dem letzten Teil rechts umstelle (sorry, finde das "aut" Zeichen nicht). Und dann kann ich die Formel auch für Fragestellungen mit "und" verwenden.

Ich hab mir das so gemerkt, dass ich das eben immer dann machen kann, wenn die Ereignisse nicht disjunkt sind.

Habe ich etwas disjunktes und eine Fragestellung mit "oder", dann kann ich einfach addieren, ohne jegliche Formel.

Was ist im disjunkten Fall aber mit der Fragestellung mit "und"? Dann einfach multiplizieren?

Ichbin da irgendwie noch nicht ganz fit darin, denn ich erkenne auch nicht immer ob es dusjunkt ist, oder nicht. Hängt das von dem Experiment ab, oder von der Fragestellung? Also wenn es rote und rote Bälle mit einem Stern gibt (dazu sagen wir noch grüne), ist das schon nicht disjunkt oder erst wenn ich eine Fragestellung habe, die sich nur mit den roten und den roten mit Stern beschäftigt?

17.09.2009, 15:34

Fragefuchs

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Denn konkret:

Nach der achtmaligen Durchführung "zweimaliges Werfen einer Münze" erhält man:

1 2 3 4 5 6 7 8
K Z Z Z K Z Z K
Z Z K K K Z K Z

Wieso ist P(A aut B) nicht P(A)*P(B)=3/8*4/8 sondern 1/8? Das versteh ich nicht angesichts der Regeln.

17.09.2009, 19:46

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Zitat:

Original von Fragefuchs
Wieso ist P(A aut B) nicht P(A)*P(B)=3/8*4/8 sondern 1/8? Das versteh ich nicht angesichts der Regeln.

Ich versteh's auch nicht, da du nicht erklärst, was die Ereignisse A und B im Zusammenhang mit deinem Würfelexperiment darstellen. Was sie auch immer konkret sein mögen - anscheinend sind sie hier weder unabhängig noch disjunkt, d.h., du kannst $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ nicht nur durch Kenntnis von $\begin{eqnarray*} P(A),P(B) \end{eqnarray*}$ berechnen, sondern musst über die inhaltliche (!) Bedeutung dieses Durchschnitts selbst an dessen Wahrscheinlichkeit kommen.

Nimm's mir nicht übel: Insgesamt wirkt deine ganze Art und Weise des Fragens ziemlich chaotisch auf mich, und ist wohl besser in der Schulmathematik aufgehoben, denn anscheinend suchst du nur nach Faustregeln statt verstehen zu wollen.

17.09.2009, 23:39

Fragefuchs

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Zu dem Beispiel gibt es keine weiteren Infos. Es ist wie es da steht: 2Mal wird eine Münze geworfen (Kopf oder Zahl) und nun soll das anggebene Ereignis berechnet werden. Ich hätte es wie gesagt als disjunkt angesehen, daher kann ich den Additionssatz dafür nicht ungestellt anwenden. In der Vorlesung haben wir hier nur das Errgebnis durch "Überlegung" notiert, aber ich würde gerne wissen, wie man das hätte berechnen können.

17.09.2009, 23:42

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Zitat:

Original von Fragefuchs
Zu dem Beispiel gibt es keine weiteren Infos.

Das ist grober Unfug - und wenn du genau nachdenkst, musst du das auch selbst merken: Es ist einfach erforderlich zu sagen, was hier mit A und B gemeint ist, das geht NICHT selbstverständlich aus dem Rest hervor! Dass du das nicht wahrhaben willst, ist wesentlicher Teil des Problems, dass du die Rechnung oben mit $\begin{eqnarray*} P(A),P(B),P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ nicht verstehst - deswegen beharre ich so auf dem Punkt!!!

18.09.2009, 09:55

Fragefuchs

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Okay, für mich war es selvstverständlich:
A: K beim ersten Wurf
B: K beim zweiten Wurf.

Sorry.

18.09.2009, 10:27

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Das wurde aber auch langsam Zeit...

Ok, wieviele Zweierwürfe gibt es mit K als erstem Wurf? Genau 3, also ist $\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$ .

Wieviele Zweierwürfe gibt es nun mit K als zweitem Wurf? Genau 4, also ist $\begin{eqnarray*} P(B) = \frac{4}{8} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ bedeutet nun, dass beide Ereignisse erfüllt sind, d.h. K sowohl im ersten als auch im zwieten Wurf fällt. Wenn man sich deine 8er-Messreihe ansieht, ist das nur für den einen Messwert Nr.5 erfüllt, also ist $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ , fertig.

18.09.2009, 11:12

Fragefuchs

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Das ist mir ja auch klar. Aber ich würde gerne wissen, wie man das berechnet und nicht nur vom bloßen Hingucken.
Ich wollte ja ursprünglich wissen, was ich rechne, wenn ich eben eine solche Fragestellung mit "und" habe, aber nichts "nicht dusjunktes", sodass ich den Additionssatz nicht umstellen kann, sondern anders rechnen muss.

18.09.2009, 11:32

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Zitat:

Original von Fragefuchs
Das ist mir ja auch klar. Aber ich würde gerne wissen, wie man das berechnet und nicht nur vom bloßen Hingucken.

Eine hochtrabende Antwort, die beweist, dass du die bisherigen Postings nicht richtig gelesen hast:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Was sie auch immer konkret sein mögen - anscheinend sind sie hier weder unabhängig noch disjunkt, d.h., du kannst $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ nicht nur durch Kenntnis von $\begin{eqnarray*} P(A),P(B) \end{eqnarray*}$ berechnen, sondern musst über die inhaltliche (!) Bedeutung dieses Durchschnitts selbst an dessen Wahrscheinlichkeit kommen.

Nur durch Hingucken und Nachdenken löst man solche Aufgaben, nicht durch Wegschauen vom Sachverhalt und bloße Mutmaßungen über die Ereignisse. Augenzwinkern

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