Hyperbolische Geometrie

25.08.2009, 17:18

helpless

Hyperbolische Geometrie

Hallo Leute,

ich bin völlig neu auf MatheBoard und hoffe ganz doll auf eure Hilfe.
Ich soll einen Vortrag über Hyperbolische Geometrie halten und bin komplett überfordert.

Was ne Metrik ist glaube, ich durchschaut zu haben. Eine Distanzfunktion die bzgl. einer Ebene gegeben wird und die den drei kriterien der Definitheit, Symmetrie und Dreiecksungleichung genügen muss.

Die Metrik,die im Skript gegeben ist, sagt mir jetzt leider gar nichts,. Ich kann mit der Ausdrucksweise einfach nichts anfangen. Kann mir jemand den Ausdruck mal dolmetschen?

$\begin{eqnarray*} ds =\frac{\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}}{y} \end{eqnarray*}$

Damit wäre mir schon mal sehr viel weitergeholfen,

fürs erste vielen Dank,
lieber Gruß,
helpless

26.08.2009, 09:48

Ehos

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Ich sag' mal allgemein etwas zur Metrik:

Wir betrachten einen "normalen" 2-dimensionalen euklidischen Raum - also eine Ebene. Dort ist das Abstandsquadrat zweier differentiell benachbarter Punkte A=(dx|dy) und B=(x+dx|y+dy) bekanntlich

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=dx^{2}+dy^{2} \end{eqnarray*}$

Dies kann man in Matrixform schreiben als

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die bisher betrachtete Ebene kann man sich z.B. als ein Stück Plastikfolie vorstellen. Diese Folie kann man an einigen Stellen "ausbeulen", wodurch die Folie keine Ebene mehr ist. Wenn jetzt ein Käfer auf dieser ausgebeulten Folie vom Punkt A zu Punkt B krabbelt, dann ist der Abstand AB nach der "Ausbeulung" länger als vorher. Wir müssen also die obige Abstandsfunktion wie folgt ändern:

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ist jetzt keine Einheitsmatrix mehr, sondern enthält gewisse Funktionen $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ , die von den Koordinaten x,y abhängen. Diese Abhängigkeit ist ein Maß für die "Stärke der Ausbeulung" der ehemaligen Ebene an der Stelle (x|y). Man bezeichnet diese Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ als Metrik.

In Deinem Beispiel lautet die Abstandsfunktion in Matrixform (nach Quadrieren)

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac {1} {y^{2}} & 0 \\ 0 & \frac {1} {y^{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall ist die Matrix eine Diagonalmatrix, was nicht immer der Fall sein muss. Man kann aber durch eine lokale (also ortsabhängige) Drehung des Koordinatensystems stets erreichen, dass die Matrix (=Metrik) wie in diesem speziellen Fall diagonal wird. Je nachdem, ob die Vorzeichen der Matrix gleich, unterschiedlich oder z.T. Null sind, bezeichnet man die Metrik als elliptisch, hyperbolisch, parabolisch usw. Auf die genaue Einteilung kann ich hier nicht eingehen.

Derartige Betrachtungen spielen in Einsteins Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Durch die Massen der Himmelskörper wird der Raum in deren Nähe gekrümmt - ähnlich wie bei der "Ausbeulung" der Folie.

26.08.2009, 10:39

helpless

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Hi Ethos,

vielen Dank für diese ausführliche Antwort.

Leider bin ich bezüglich dieser Ausdrucksweise ds,dx,dy so vverwirrt. Ich weiß einfach nicht wofür das steht. bedeutet das einfach das s,x,y differenzierbar sind?

26.08.2009, 13:02

Ehos

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Die Ausdrucksweise "ds" für den Abstand zweier Punkte deutet darauf hin, das es sich um einen "differentiell kleinen" Abstand handelt. Das heißt, dieser Abstand soll so klein sein, dass man ihn näherungsweise durch eine Gerade annähern kann.

Wir betrachten z.B. die Erdoberfläche. Dann kann man den geringen Abstand zwischen Bonn und Köln durch eine Gerade annähern. Dagegen muss man den Abstandes zwischen den weit entferten Städten Köln und Peking als gekrümmte Linea auffassen. Um diesen komplizierteren Fall auf den einfachen Fall zurückzuführen, legt man auf der gekrümmten Verbindungslinie zwischen Köln und Peking im Abstand von ca. 100 km feste Punkte fest. Zwischen diesen kann man die Erdkrümmung wieder vernachlässigen und die Teil-Abstände näherungsweise als Gerade auffassen. Der Gesamtabstand s zwischen Köln und Peking ergäbe sich dann als Summe dieser geraden Abstande ds1, ds2,... Also

s=ds1+ds2+ds3+...+dsn

Wenn man die Sache exakt betrachtet, ist der Abstand das Integral

s=INT ds

26.08.2009, 14:06

helpless

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okay, für s bzw, ds find ich das einleuchtend danke. Kann ich dass ganze dann so interpretieren dass ich meine Metrik so begreifen kann wie:

mit ganz nah bei einander liegenden Punkten (x1/y1), (X2/y2) gilt bei meiner hyperbolischen Metrik

$\begin{eqnarray*} ds = \frac{\sqrt{dx^{2}+ dy^{2}} }{y^{2}} =\frac{\sqrt{(x1-x2)^{2}+ (y1-y2)^{2}}}{y^{2}} \end{eqnarray*}$

Aber was ist mit dem y im Nenner? Bin leider immer noch verwirrt

lass mich nicht im Stich Ethos Hammer

26.08.2009, 14:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von helpless
$\begin{eqnarray*} ds = \frac{\sqrt{dx^{2}+ dy^{2}} }{y^{2}} =\frac{\sqrt{(x1-x2)^{2}+ (y1-y2)^{2}}}{y^{2}} \end{eqnarray*}$

Was soll den y sein? Ich denke, es ist eher so gemeint:

$\begin{eqnarray*} ds = \frac{\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+ (y_1-y_2)^{2}}}{y_1^{2}+y_2^{2}}. \end{eqnarray*}$

Dass dies dann eine Metrik nach Definition darstellt, bezweifle ich allerdings.

27.08.2009, 09:43

Ehos

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Ich habe bereits erklärt, was der Nenner y innerhalb Deiner Metrik bedeutet. Ich erkläre es noch einmal:

Auf einer ganz normalen Ebene berechnet man den Abstand zweier Punkte (x1|y1) und (x2|y2) mit dem Satz des Pythagoras

$\begin{eqnarray*} s^{2}=dx^{2}+dy^{2} \end{eqnarray*}$ __________(1)

Hierbei habe ich abgekürzt dx=x2-x1 und dy=xy2-y1. Für später ist es von Vorteil, den satz des Pythagoras (1) in Matrixschreibweise zu schreiben.

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(2)

Die Formeln (1) und (2) stellen also beide den Satz des Pythagoras dar - nur in unterschiedlicher.

Der Satz des Pythagoras (1) bzw. (2) gilt aber nur auf einer "echten" Ebene" - nicht auf gekrümmten Flächen. Letztere kann man als "verzerrte Ebenen" auffassen, ähnlich wie man eine ebene Plastikfolie durch "Ausbeulung" verzerren kann. Um auf gekrümmten Flächen ebenfalls den Abstand zweier Punkte berechnen zu können, muss der Satz des Pythagoras (2) etwas abgeändert werden.

Das geschieht wie folgt:

Man ersetzt die Einheitsmatrix in (2) durch eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(3)

Die Matrixelemente $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ sind ein Maß für die Krümmung der Fläche - also für deren Abweichung von der Ebene. Man kann Formel (3) gewissermaßen als "verzerrten" Satz des Pythagoras auffassen, der für gekrümmte Flächen gilt.

Als Beispiel gebe ich mal den Satz des Pythagoras für eine Kugeloberfläche mit dem Radius R=1 an. Dort gilt

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix} sin^{2}(y) & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(4)

Anschaulich ist x der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und y der Winkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . In Deinem speziellen Fall handelt es sich um eine andere Fläche. Ich habe jetzt nicht untersucht, wie diese Fläche physikalisch aussieht. Jedenfalls kann man dort das Abstandsquadrat in Matrixschreibweise darstellen als

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac {1} {y^{2}} & 0 \\ 0 & \frac {1} {y^{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(5)

Wesentlich ist folgendes: Die Matrix, die innerhalb der "verzerrten" Pythagoras auftaucht, ist ein Maß für die Verzerrung der Abstände auf der gekrümmten Fläche im Vergelich zu den unverzerrten Abständen auf einer "richtigen" Ebene.

27.08.2009, 10:50

helpless

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Guten morgen Ethos!

Erst mal nochmal ein riesiges Dankeschön für deine schönen Antworten. Es ist auch nicht so, dass ich die nicht verstehe. Du beschreibst ja alles voll schön.

Den Satz des Phytagoras hab ich auch gleich erkannt, und die Art und Weise, wie man die Abstandsfunktion in Matrixform umschreibt, verstehe ich auch.

Um zu klären ob ichs verstanden habe,beschreibe ich die Sachlage jetzt nochmal mit nem eigenen Beispiel.

Um den kürzeseten "Weg" vom Fuß eines Berges zu seinem Gipfel näherungsweise zu bestimmen, könnte ich also eine Abstandsfunktion

$\begin{eqnarray*} ds^2 = \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_11 & a_12\\ a_21 & a_22\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

finden, die für sehr nah bei einander liegenden Wegabschnitte ds1,ds2,...,dsn, den Abstand bestimmt, indem sie das Maß der "Ausbeulung" berücksichtigt. Dieses Maß der Ausbeulung kann ja, je nach Stelle des Berges, unterschiedlich stark ausfallen, sodass möglicherweise für unterschiedliche Wegabschnitte unterschiedliche Matrizen aij beötigt werden.
So viel zu den einzelnen abschnitten. wie du aber bereits in deinem zweiten Beitrag bemerkt hast, ist der Weg genauer durch $\begin{eqnarray*} \int ds \end{eqnarray*}$ zu bestimmen in meinem Skrip steht diesbezüglich, bzw. bzgl "meiner" Metrik:

Sei I= [0,1] und $\begin{eqnarray*} \gamma: I\Rightarrow H \end{eqnarray*}$ ein teilweise differenzierbarer Pfad $\begin{eqnarray*} \gamma = \left\{ z(t) = x(t)+iy(t)\in H | t\in I\right\} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist die hyperbolische Länge gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} h(\gamma)=\int_{0}^{1}~\frac{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+( \frac{dy}{dt})^{2}} dt}{y(t)}= \int_{0}^{1}~\frac{| \frac{dz}{dt} | dt }{y(t)} \end{eqnarray*}$ .

Was wäre jetzt das Intervall I in meinem Beispiel?

Ich hoffe du antwortest wieder!

lieber Gruß,
helpless

27.08.2009, 11:38

Ehos

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Du fragst, was das Intervall I=[0;1] in deinem Beispiel bedeutet.

Die Größe t im Intervall [0,1] ist nur ein Parameter, den man z.B. als Zeit t interpretieren kann, in welcher ein Käfer entlang der vorschriebenen, gekrümmten Kurve [x(t)|y(t)] entlang krabblt. Die Größe t gibt also die momentane Uhrzeit an, zu welcher sich der Käfer an einem bestimmten Punkt der Kurve befindet.

Das ist natürlich nur eine willkürliche Interpretation. Man könnte t auch als momentanen Benzinverbrauch bis zum Punkt Punkt [x(t)|y(t)] interpertieren oder anders.

27.08.2009, 12:37

Ehos

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Ich beschreibe noch mal auf andere Weise, wie man auf den Parameter t kommt:

Ein Käfer krabbelt auf einer Ebene entlang einer gekrümmten Kurve [x(t)|y(t)], wobei t die Zeit ist. Wir betrachten 2 dicht benachbarte Zeitpunte t=0 und t=0+dt. Zu diesen beiden Zeitpunkten befindet sich der Käfer an den Orten [x(0)|y(0)] bzw. [x(0+dt)|y(0+dt)]. Der gekrümmte weg, den der Käfer zwischen beiden Punkten gekrabbelt ist, lautet nach dem Satz des Pythagoras näherungsweise

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=|\vec x (0)-\vec x (0+dt)|^{2} \end{eqnarray*}$ __________(1)

Diese Näherung gilt nur dann, wenn die beiden Punkte so dicht beieinander liegen, dass man den Weg zwischen beiden Punkten als Gerade annähern kann. Wir entwickeln den zweiten Summanden aus (1) in einer Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} \vec x (0+dt)=\vec x (0)+ \frac {d \vec x} {dt} dt+... \end{eqnarray*}$ _____(2)

Einsetzen von (2) in (1) ergibt für den Abstand (wenn er klein ist, so dass die 1.Ordnung der Taylorentwicklung ausreicht):

$\begin{eqnarray*} ds^{2}=|\frac {d \vec x} {dt}|^2~dt \end{eqnarray*}$ __________(3)

Dies schreiben wir wieder in Matrixschreibweise

$\begin{eqnarray*} ds^2=\begin{pmatrix} \frac {dx} {dt}\\ \frac {dy} {dt} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac {dx} {dt}\\ \frac {dy} {dt} \end{pmatrix}~dt^{2} \end{eqnarray*}$ __________(4)

Bisher haben wir gesagt, der Käfer krabbelt auf einer "echten" Ebene. Dann gilt die eben hergeleitete Formel für kurze Wege. Für lange Wege muss man das Integral bilden, was der Summation aller kleinen Teilwege ds entspricht, also

$\begin{eqnarray*} s=\int_{0}^{1}~\sqrt {\begin{pmatrix} \frac {dx} {dt}\\ \frac {dy} {dt} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac {dx} {dt}\\ \frac {dy} {dt} \end{pmatrix}}~dt \end{eqnarray*}$ __________(5)

Dies ist die allgemeine Formel zur Berechnung der Bogenlänge eines beliebig gekrümmten Weges auf einer Ebene. Wenn der Käfer dagegen auf einer gekrümmten Fläche krabbelt, dann muss in Formel (5) wie beschreiben die Einheitsmatrix durch die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ersetzt werden. Damit ergibt sich die Formel zur Berechnung einer beliebigen Kurve auf einer beliebig gekrümmten Fläche. In Deiner Aufgabe ist die Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ wie gesagt speziell vorgegeben, weil es sich um eine speziell gekrümmte Fläche handelt.

27.08.2009, 14:25

helpless

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Okay, danke Ethos.

Das muss ich jetzt erst mal verdauen, aber ich glaub ,wenn ichs mir heute nachmittag noch mal genau anschau, check ichs.

Will das Thena aber noch nicht schließen. Ich meld mich morgen wieder und würd mich freuen, wenn du reinschaust und vielleicht wieder eine Antwort parat hast.

bis morgen,
helpless

28.08.2009, 09:55

helpless

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So guten Morgen Ethos,

ich hab mir unser ganzes Gespräch jetzt noch einmal zu Gemüte geführt. Die Bedeutung "meiner" Abstandsfunktion und dem Wegintegal leuchtet mir, dank dir, jetzt ein.In meinem Skript, welches die Grundlage für meinen Vortrag ist, wurde anschlieschend noch die hyperbolische Distanz definiert.

"Die hyperbolische Distanz p(z,w) zwischen zwei Punkten z,w\in H, wird folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} p(z,w) = inf h(\gamma ) \end{eqnarray*}$ ,

wobei hier das Infimum aller Wege gemeint ist, die z und w in H verbinden".

Verstehe ich die Bedeutung dieser Definition richtig?
das Integral $\begin{eqnarray*} h(\gamma ) \end{eqnarray*}$ ist die Formel zu Berechnug beliebiger Kurven auf H. Während p(z,w) eindeutig und als "kürzester" Weg nun endlich den Abstand zweier Punkte auf der hyperbolischen Ebene mit der Metrik

$\begin{eqnarray*} \alpha ij= \begin{pmatrix} \frac{1}{ y^{2}} & 0\\ 0 & \frac{1}{y^{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beschreibt.

Morgen werde ich mich mit den reelllen Möbiustransformationen beschäftigen, welche die richtungserhaltenden Isometrien der hyprebolischenen Ebene sind. Da ich erst ab morgen Zeit habe, mich so richtig um den Vortrag zu kümmern, werden auch erst dann neue Fragen auftauchen. Würde mich freuen, Ethos, wenn du mich weiterhin mit deinen Gott

anbetungswürdigen Beiträgen begleiten würdest.

Augenzwinkern

28.08.2009, 11:57

Ehos

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Abstand
Hallo,
Du hast die Definition des Abstandes richtig verstanden: Der Abstand definiert bei Dir die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer gekrümmten Fläche. Diese kürzeste Verbindung ist i.A. keine Gerade, weil die Matrix im Integral keine Einheitsmatrix ist.

Solche Abstandsfunktionen spielen z.B. in der Relativitätstheorie eine Rolle. Ein Lichtstrahl bewegt sich z.B. auch immer "auf der kürzensten" Linie. Da der Raum in der Nähe von Massen gekrümmt wird, ist auch der Licht-Weg in der Nähe von Massen gekrümmt. Im Gegensatz zu Deinem Fall hat man es dabei aber nicht mit einer Lineie in einem 2D-Raum (=gekrümmte Fläche) zu tun, sondern mit einer Linie im 4D-Raum (Raum-Zeit). Aber im Prinzip ist die Sache völlig analog.

Ich kann erst wieder am Monatg antworten.

28.08.2009, 14:01

helpless

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Danke Ethos!

Bis Montag. Ein schönes Wochenende wünsche ich dir!

Gruß, helpless

02.09.2009, 12:45

helpless

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Hallo da draußen,

also ich befinde mich immer noch in der hyperbolischen Geometrie.

Es wurden Möbiustransformationen der Form :
(1)
$\begin{eqnarray*} T = \left\{ z\Rightarrow \frac{az+b}{cz+d}|a,b,c,d \in \mathbb R , ad-bc= 1 \right\} \end{eqnarray*}$ als Gruppe $\begin{eqnarray*} PSL \left(2,\mathbb R \right)= SL(2, \mathbb R )/\left\{ \pm1_2\right\} \end{eqnarray*}$ eingeführt. Und es wurde bewiesen, dass

(2)
$\begin{eqnarray*} PSL \left(2,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ Untergruppe von Isom(H) ist, was bedeutet, dass jede Transformation T aus (1) den hyperbolischen Abstand erhält.

Es wurden Geodätische definiert als:
(3)
"Die Geodätischen in H sind Halbkreise und gerade Linien, die orthogonal zur reellen Achse $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind."

Dann wurde die Hyperbolische Ebene (obere Halbebene) zur Riemannschen Sphäre $\begin{eqnarray*} C^1=C\bigcup \left\{ \infty\right\} \end{eqnarray*}$ erweitert und das folgende Doppelverhältnis eingeführt:
(4)
$\begin{eqnarray*} z_1,z_2,z_3,z_4 \in C^1 :<br /> <br /> (z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)} \end{eqnarray*}$

(5)
Sei L ein euklidischer Kreis oder eine gerade Linie orthogonal zur reellen Achse, so dass er die reele Achse in einem endlichen Punkt [/latex]\alpha [/latex] trifft.
Die Transformation $\begin{eqnarray*} T\left(z\right)=-\frac{1}{\left(z-\alpha \right)}- \beta \end{eqnarray*}$ gehört zur Gruppe $\begin{eqnarray*} PSL \left(2,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ . Für geeignete $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} T\left(z\right) \end{eqnarray*}$ L auf die Imaginäre Achse ab.

(6)
$\begin{eqnarray*} h \left(\gamma\right) \geq ln \frac{b}{a} , z_1= ia, z_2=ib \left(b \geq a\right) p(z_1,z_2)= ln \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$

Den Beweis des folgenden Satzes kann. ich leider nicht nachvollziehen, vielleicht kann mir da jemand helfen. Da mein Skript auf Englisch ist, scheib ichs auch mal so:

Satz:
Let $\begin{eqnarray*} z,w \in H \left(z\neq w\right) \end{eqnarray*}$ and let the geodesic joining z and w have the endpoints $\begin{eqnarray*} z^*,w^* \in \mathbb R \bigcup \left\{ \infty\right\} \end{eqnarray*}$ , chosen in such way, that z lies between $\begin{eqnarray*} z^* \end{eqnarray*}$ and w. Then

$\begin{eqnarray*} p \left(z,w\right)= ln (w,z^*;z,w^*) \end{eqnarray*}$

Beweis:
According to (5) zhere exists an element $\begin{eqnarray*} T \in PSL \left(2,\mathbb R \right) \end{eqnarray*}$ which maps the geodesic joining z and w to the imaginary axis. By abblying transformations $\begin{eqnarray*} z\Rightarrow kz \left(k\ge 0\right) \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} z\Rightarrow -\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ as necessary, we may that $\begin{eqnarray*} T \left(z^*\right) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} T \left(w^*\right) = \infty \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} T \left(z\right) = i \end{eqnarray*}$ . Then $\begin{eqnarray*} T \left(w\right) = ri \left(r\geq 1\right) \end{eqnarray*}$ , and by (6) $\begin{eqnarray*} p(z,w)= ln r \end{eqnarray*}$ . But $\begin{eqnarray*} r = (ri,0;i,\infty) \end{eqnarray*}$ , and the theorem follows from the invariance of (4) under fractional linear transformations (see e.g. $\begin{eqnarray*} \left[A\right] \end{eqnarray*}$ ).

Gruß, helpless

02.09.2009, 16:02

helpless

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so ich nochmal.

entschuldigt bitte meine zahlreichen Rechtschreibfehler in deutsch und in englisch. Ich will mein Problem mit dem Beweis konkretisieren!

Genau genommen fängt das erste Problem beim Satz selbst an. Ich weiß leider nichts mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \bigcup \infty \end{eqnarray*}$ anzufangen.

Dann versteh ich den Beweis soweit, dass es also nach (5) eine Möbiustransformation (MT) gibt, welche, als Isometrie auf H die hyperbolische Distanz erhält. Diese MT bildet die Geodätische, die z und w verbindet auf die Imaginäre Achse ab. Dabei bleibt der Abstand von z und w erhalten.
Und ab jetzt hört auf. Warum kann man jetzt, unter der Voraussetzung von

$\begin{eqnarray*} z\Rightarrow az, z\Rightarrow -\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

die beschriebenen Folgerungen machen?

Edit (mY+): LaTex berichtigt.

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