Goniometrische Geichungen

26.08.2009, 01:19

tjtj8

Goniometrische Geichungen

Hallo erstmal^^
hab übern sommer ein LernProgramm für meine Mathe Nachprüfung bekommen.
Bin jetz so ziemlich über 75%. Nur komm ich bei bestimmten Übungen einfach nicht drauf was ich da machen soll.

erstmals:

a) sin(x)+3cos(x)=2

also hier hab ich komplett keinen plan :S

b)sqrt(3)*sin(x)-cos(x)+1=0
ich denk mal so ähnlicher lösungsweg wie a. Mit anwendung der Summensätze oder der üblichen Umrechnungsformeln der Trigonometrie komm ich hier einfach nicht weiter

und dann noch:

c) cos(2x)-sin(2x)=(sin(x)+cos(x))²

hier hab ichs mit summensätze usw. auf
2cos(x)-4sin(x)cos(x)-2sin(x)=1

gebracht. Bin mir ziemlich sicher dasses bis hierhin stimmt^^
ach ja und wenn G=R als grundmenge angegeben ist, wie soll ich dann das ergebnis als Lösungsmenge schreiben?

bei G=[0,360*[ is klar.. bei G=[0,2pi[ is auch klar.. einfach ins Bogenmaß umwandeln
aber bei G=R ...

naja danke im vorraus

MFG (:

26.08.2009, 02:37

WebFritzi

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Zur ersten: $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \pm\sqrt{1 - \cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ verwenden, dann quadrieren, nach cos(x) auflösen, schauen, ob Ergebnis in [-1,1] enthalten ist, und wenn ja, dann die Umkehrfunktion bilden.

26.08.2009, 03:08

tjtj8

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Zitat:

Original von WebFritzi
Zur ersten: $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \pm\sqrt{1 - \cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ verwenden, dann quadrieren, nach cos(x) auflösen, schauen, ob Ergebnis in [-1,1] enthalten ist, und wenn ja, dann die Umkehrfunktion bilden.

wie soll ich nach cos umwandeln? ich bekomm wennich quadriere
8cos²+6cos*Sqrt(1-cos²)-3=0
raus.

Die Wurzel ist ja anscheinend hart weckzukriegen wenn man nach cos(x) auflösen will.

26.08.2009, 08:15

Huggy

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Bring den Term 3*cos(x) vor dem Quadrieren auf die rechte Seite der Gleichung. Dann ist die Wurzel nach dem Quadrieren weg.

26.08.2009, 09:20

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Zitat:

Original von tjtj8
c) cos(2x)-sin(2x)=(sin(x)+cos(x))²

hier hab ichs mit summensätze usw. auf
2cos(x)-4sin(x)cos(x)-2sin(x)=1

gebracht. Bin mir ziemlich sicher dasses bis hierhin stimmt^^

Tatsächlich? Nun, $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist Lösung der Ausgangsgleichung, aber nicht deiner umgeformten Gleichung - da ist also doch irgendwas schiefgegangen.

Mein Vorschlag: Mit $\begin{eqnarray*} \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x)-\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) &=& \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) \\ 0 &=& 2\sin^2(x) + 4\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x)(\sin(x)+2\cos(x)) \end{eqnarray*}$

und dann direkt (unter Nutzung von Tangens/Arcustangens) ablesbaren Lösungen.

26.08.2009, 19:15

tjtj8

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Zitat:

Original von Huggy
Bring den Term 3*cos(x) vor dem Quadrieren auf die rechte Seite der Gleichung. Dann ist die Wurzel nach dem Quadrieren weg.

soweit so gut. Dann fasse ich zusammen substituire und errechne cos(x)
mit

u:=cos(x)

u= (-b +- Sqrt(b²-4ac))/2a

naja das 2. ergebnis das ich herausbekomme stimmt.
aber das 1. ist falsch. Was kann da falsch sein?oO

26.08.2009, 20:15

Huggy

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Da ist nichts schief gegangen. Das ist das bekannte Übel des Quadrierens bei Gleichungen. Die quadrierte Gleichung kann Lösungen haben, die nicht Lösung der ursprünglichen Gleichung ( vor dem Quadrieren) sind, weil durch das Quadrieren ein Vorzeichen verschwindet. Wenn man beim Lösen einer Gleichung quadriert, muss man daher immer prüfen, ob die gefundenen Lösungen auch die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Die nicht passende Lösung erfüllt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} -\sin(x)+3\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Aus der einen gefundenen Lösung wird wegen der Periodizität der Winkelfunktionen eine unendliche Menge von Lösungen.

26.08.2009, 20:30

tjtj8

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Zitat:

Original von Huggy
Da ist nichts schief gegangen. Das ist das bekannte Übel des Quadrierens bei Gleichungen. Die quadrierte Gleichung kann Lösungen haben, die nicht Lösung der ursprünglichen Gleichung ( vor dem Quadrieren) sind, weil durch das Quadrieren ein Vorzeichen verschwindet. Wenn man beim Lösen einer Gleichung quadriert, muss man daher immer prüfen, ob die gefundenen Lösungen auch die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Die nicht passende Lösung erfüllt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} -\sin(x)+3\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Aus der einen gefundenen Lösung wird wegen der Periodizität der Winkelfunktionen eine unendliche Menge von Lösungen.

also sobald 1 der beiden lösungen richtig ist, kann ich diese als ergebnis schreiben, und die andere nicht?^^

27.08.2009, 09:04

Huggy

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Zitat:

Original von tjtj8
also sobald 1 der beiden lösungen richtig ist, kann ich diese als ergebnis schreiben, und die andere nicht?^^

So einfach geht das nur, wenn man weiß, dass die ursprüngliche Gleichung nur eine Lösung hat. Am sichersten ist es, alle Lösungen der quadrierten Gleichung zur Probe in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

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