Zeigen, dass U ein Unterraum ist

26.08.2009, 14:04

inseljohn

Zeigen, dass U ein Unterraum ist

Hallo Leute,

hab da mal wieder ein Problen Augenzwinkern

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Menge der Vektoren der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -x-y \\ 3x \\ 3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zeigen sie, dass U ein Unterraum des R^3 ist.

In der Lösung steht jetzt folgendes:
U1)

$\begin{eqnarray*} x*\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +y*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Dies ist erfüllt, wenn x=y=0 sind!

Das verstehe ich schon nicht. Was bedeutet x=y=0

U2)
Zeigen, dass v+w €U für alle v,w €U
Beweis:
$\begin{eqnarray*} v+w=x\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +y*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+y \\ 3x+4y \\ x-2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

U3)
Zu zeigen: r*v€U f+r alle r€K, v € U
Beweis:
$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -r \\ 3r \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergebnis:
Also ist
$\begin{eqnarray*} U=<\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ein Unterraum des R^3.

Ich verstehe irgendwie gar nicht, was die da so wirklich machen. Es wäre super, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde und mir die einzelnen Schritte erklärt smile

Wenns geht, aber in einfachen Worten und Sätzen Augenzwinkern

Vielen vielen Dank schon mal im Voraus
Gruß,
inseljohn

26.08.2009, 14:13

WebFritzi

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Diese "Musterlösung" ist der letzte Dreck, wenn ich das mal so formulieren darf. In dem "Nachweis" eines jeden Unterraum-Axioms stecken Fehler - teilweise grobe. Wirf sie weg, und mach es selber.

26.08.2009, 15:13

inseljohn

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hmmm...ok, das ist ja jetzt nicht so schön Augenzwinkern

das problem ist ja, dass ich es nicht selbst machen kann.
deswegen wäre eine hilfestellung super.
wer mir hilft, hat für heute seine gute tat schon abgearbeitet Augenzwinkern

26.08.2009, 15:38

klarsoweit

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Du mußt eben die Gültigkeit der Unterraumbedingungen U1, U2 und U3 nachweisen. Da wäre es schon sehr hilfreich, wenn du diese mal vollständig hinschreiben könntest.

26.08.2009, 17:29

Gaußsche Zahl

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@Inseljohn:

Also du musst im Prinzip nur zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -x-y \\ 3x \\ 3y \end{pmatrix} \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gilt und dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -x-y \\ 3x \\ 3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein VR ist, also

I) $\begin{eqnarray*} 0 \in \begin{pmatrix} -x-y \\ 3x \\ 3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

II) $\begin{eqnarray*} x,y \in \begin{pmatrix} -x-y \\ 3x \\ 3y \end{pmatrix}:= W \Rightarrow x+y \in W \end{eqnarray*}$

III) $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in W \Rightarrow \lambda \cdot x \in W \end{eqnarray*}$

Schreib dir einfach mal alles (wie schon bereits von klarsoweit gesagt) sauber auf einen Zettel und rechne es nach.

Fangen wir mal mit I an: Setze $\begin{eqnarray*} x=y=0 \Rightarrow 0 \in W \end{eqnarray*}$ usw.. Also wissen wir schonmal das der Nullverktor in W liegt. Jetzt musst du noch Teil II und III machen dann hast dus schon.

26.08.2009, 20:50

WebFritzi

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@Gaußsche Zahl: Wenn du hilfst, dann bitte auch richtig. Dinge wie

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
$\begin{eqnarray*} 0 \in \begin{pmatrix} -x-y \\ 3x \\ 3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

machen keinen Sinn. Null kann doch nicht in einem Vektor enthalten sein. Mir ist klar, was du meinst, aber darum geht es nicht. Wenn man ein Helfer ist, dann ist es zwingend und dringend erforderlich, die mathematischen Konventionen strikt einzuhalten, um ein gutes Beispiel abzugeben. Halte dich bitte in Zukunft daran.

28.08.2009, 11:10

Gaußsche Zahl

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Zitat:

... da hast du in der Tat Recht!

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