Raum der beschränkten reellen Folgen

26.08.2009, 15:13

TheMathKing

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Raum der beschränkten reellen Folgen

Hallo,

mir geht es um den Beweis der Vollständigkeit dieses Raumes und zwar speziell um den Beweis der Beschränktheit der konstruierten Grenzfolge.

Metrik ist $\begin{eqnarray*} d((x_n),(y_n)):=\sup_{i\in I}|x_i-y_i| \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} b_i=\lim_{n\to\infty}x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall C\in\mathbb R \exists i\in N: |b_i|>C \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} b_i=\lim_{n\to\infty}x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} b_i<\varepsilon+x_i^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \varepsilon +x_i^{(n)} >b_i >C \end{eqnarray*}$

und damit wäre $\begin{eqnarray*} x^{(n)} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt. Blitz

Geht das so?

26.08.2009, 21:22

WebFritzi

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Glaubst du es denn selber?

26.08.2009, 22:06

TheMathKing

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RE: Raum der beschränkten reellen Folgen
Du wirst es mir gleich sagen Mit Zunge

Mit Zunge

. Hab noch eine Kleinigkeit dran gemacht. Ich bin zufrieden Big Laugh

Big Laugh

.

$\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall C\in\mathbb R \exists i\in N: |b_i|>C \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} b_i=\lim_{n\to\infty}x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |x_i^n|-\varepsilon<|b_i|<\varepsilon+|x_i^n| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \varepsilon +|x_i|^{(n)} >|b_i| >C \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} x^{(n)} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt. Widerspruch.

26.08.2009, 23:17

WebFritzi

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Was ist denn Epsilon? Das kommt einfach so dahergelaufen, ohne dass du es eingeführt hast. Das geht nicht.

26.08.2009, 23:47

TheMathKing

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Du bist ja überaus genau Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Das kommt von der Epsilon-Definition einer konvergenten Folge.

Okay. Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} b_i=\lim_{n\to\infty}x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ gilt aufgrund der Epsilon-Definition eines Grenzwertes:...

Ist der Gedankengang grundsätzlich okay?

27.08.2009, 12:49

WebFritzi

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Das kann ich dir nicht sagen, wenn du mir nicht den ganzen Beweis präsentierst. Die Richtigkeit deiner Argumentation hängt ganz stark davon ab, ob du eine gewisse Gleichmäßigkeit der Konvergenz beachtest, die hier gegeben ist.

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27.08.2009, 13:54

TheMathKing

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$\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall C\in\mathbb R \exists i\in N: |b_i|>C \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-b_i|=\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-\lim_{m\to\infty}x_i^{(m)}|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

daher $\begin{eqnarray*} \exists N\in\mathbb N\forall i\in\mathbb N\forall n\geq N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |x_i^n|-\varepsilon\leq|b_i|\leq\varepsilon+|x_i^n| \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \varepsilon +|x_i|^{(n)} \geq|b_i| >C\quad,\quad\forall i\in\mathbb N\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} x^{(n)} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt. Widerspruch.

Besser?

30.08.2009, 05:59

WebFritzi

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Das ist nicht der ganze Beweis. Das Epsilon fällt wieder vom Himmel. Was ist b_i? Und vor allem: warum existiert b_i?

30.08.2009, 11:21

TheMathKing

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Wir zeigen, dass der Raum der beschränkten, reellen Folgen vollständig ist.

Dazu wählen wir uns eine beliebige Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen und zeigen, dass diese gegen eine beschränkte, reellen Folge konvergiert.

Sei also $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen, dann gilt insbesondere

$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\;\exists N_{\varepsilon}>0\;\forall n,m\geq N\;d((x^{(n)}),(x^{(m)}))<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Dann gilt aber auch

$\begin{eqnarray*} |x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|=d((x^{(n)}),(x^{(m)}))< \varepsilon \end{eqnarray*}$

und damit ist die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -Komponentenfolge eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ vollständig, existiert ein reeller Grenzwert.

Wir definieren $\begin{eqnarray*} b_i:=\lim_{n\to\infty}x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall C\in\mathbb R\;\exists i\in N: |b_i|>C \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Funktionen, gilt auch

$\begin{eqnarray*} ||x_i^{(n)}|-|b_i||\leq|x_i^{(n)}-b_i|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-b_i|=\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-\lim_{m\to\infty}x_i^{(m)}|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

daher $\begin{eqnarray*} \exists N\in\mathbb N\;\forall i\in\mathbb N\;\forall n\geq N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |x_i^n|-\varepsilon\leq|b_i|\leq\varepsilon+|x_i^n| \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \varepsilon +|x_i|^{(n)} \geq|b_i| >C\quad,\quad\forall i\in\mathbb N\;\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} x^{(n)} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt. Widerspruch.

Besser?

30.08.2009, 14:11

WebFritzi

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Ungenügend. Ich kann das nicht nachvollziehen. Und zwar, weil du viel zu wenig über die Indizes sagst, die du benutzt. Du musst bei jeder Gleichung oder Ungleichung sagen, für welche n, m, i sie gilt. Und achte auf Einheitlichkeit bei der Benutzung von Symbolen.

30.08.2009, 14:27

Romaxx

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sorry, mein Fehler, vergesst es Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.08.2009, 14:34

TheMathKing

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Hab an der Annahme der Unbeschränktheit etwas verändert und an der vorletzten Zeile.

Was genau ist den unklar? Doch nicht alles, oder?

Wir zeigen, dass der Raum der beschränkten, reellen Folgen vollständig ist.

Dazu wählen wir uns eine beliebige Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen und zeigen, dass diese gegen eine beschränkte, reellen Folge konvergiert.

Sei also $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen, dann gilt insbesondere

$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\;\exists N_{\varepsilon}>0\;\forall n,m\geq N\;d((x^{(n)}),(x^{(m)}))<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Dann gilt aber auch

$\begin{eqnarray*} |x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|=d((x^{(n)}),(x^{(m)}))< \varepsilon \end{eqnarray*}$

und damit ist die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -Komponentenfolge eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ vollständig, existiert ein reeller Grenzwert.

Wir definieren $\begin{eqnarray*} b_i:=\lim_{n\to\infty}x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall C\in\mathbb R\;\exists j_C\in N: |b_{j_C}|>C \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Funktionen, gilt auch

$\begin{eqnarray*} ||x_i^{(n)}|-|b_i||\leq|x_i^{(n)}-b_i|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-b_i|=\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-\lim_{m\to\infty}x_i^{(m)}|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

daher $\begin{eqnarray*} \exists N\in\mathbb N\;\forall i\in\mathbb N\;\forall n\geq N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |x_i^n|-\varepsilon\leq|b_i|\leq\varepsilon+|x_i^n| \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \varepsilon +|x_{j_C}|^{(n)} \geq|b_{j_C}| >C\quad,\quad\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} x^{(n)} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt. Widerspruch.

Besser?

30.08.2009, 14:47

WebFritzi

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Ich wiederhole mich ungern.

Zitat:

Original von WebFritzi
Und zwar, weil du viel zu wenig über die Indizes sagst, die du benutzt. Du musst bei jeder Gleichung oder Ungleichung sagen, für welche n, m, i sie gilt.

31.08.2009, 10:15

TheMathKing

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Wir zeigen, dass der Raum der beschränkten, reellen Folgen vollständig ist.

Dazu wählen wir uns eine beliebige Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen und zeigen, dass diese gegen eine beschränkte, reellen Folge konvergiert.

Sei also $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ das eine Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen. Das Indize oben rechts steht dabei für die Folge von Folgen aus dem genannten Raum. Dann gilt insbesondere

$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0\;\exists N_{\varepsilon}>0\;\forall n,m\geq N_{\varepsilon}\;d((x^{(n)}),(x^{(m)}))<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Dann gilt aber auch

$\begin{eqnarray*} |x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|=d((x^{(n)}),(x^{(m)}))< \varepsilon \end{eqnarray*}$

dabei steht das Indize unten rechts für das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Folgenglied einer beschränkten, reellen Folge und damit ist die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -Komponentenfolge eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ vollständig, existiert ein reeller Grenzwert.

Wir definieren $\begin{eqnarray*} b_i:=\lim_{n\to\infty}x_i^{(n)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (b_i) \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall C\in\mathbb R\;\exists j_C\in N: |b_{j_C}|>C \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen, gilt auch

$\begin{eqnarray*} ||x_i^{(n)}|-|b_i||\leq|x_i^{(n)}-b_i|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-b_i|=\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-\lim_{m\to\infty}x_i^{(m)}|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

Ich kann hier für $\begin{eqnarray*} x_i^{(m)} \end{eqnarray*}$ zum Grenzwert übergehen, da die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} n,m\geq N_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ gilt. Siehe Cauchyfolgendefintion oben.
Danach schätze ich nach unten ab, indem ich das Supremum entferne und schließlich noch einmal mit der Dreiecksungleichung.

Was ich nun mache, ist einfach, dass ich den Anfang und das Ende dieser Ungleichungskette nehme und es noch einmal gesondert aufschreibe, indem ich den Betrag auflöse.
Diese Ungleichung gilt für $\begin{eqnarray*} n\geq N_{\varepsilon}\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} |x_i^n|-\varepsilon\leq|b_i|\leq\varepsilon+|x_i^n| \end{eqnarray*}$

und somit auch für das $\begin{eqnarray*} j_C \end{eqnarray*}$ aus der Annahme der Unbeschränktheit

$\begin{eqnarray*} \varepsilon +|x_{j_C}|^{(n)} \geq|b_{j_C}| >C\quad,\quad\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt. Widerspruch.

Jetzt aber smile

smile

31.08.2009, 13:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von TheMathKing
Da $\begin{eqnarray*} (x^{(n)}) \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge aus dem Raum der beschränkten, reellen Folgen, gilt auch

$\begin{eqnarray*} ||x_i^{(n)}|-|b_i||\leq|x_i^{(n)}-b_i|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-b_i|=\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-\lim_{m\to\infty}x_i^{(m)}|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

Ich wiederhole mich nicht nocheinmal...

31.08.2009, 13:40

TheMathKing

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Meine Erklärung dazu, habe ich unter die Ungleichung geschrieben...

Was daran für dein Verständnis nicht hinreichend sein soll, ist mir schleierhaft.

Dann sag mir doch, was dir an dieser Stelle nicht einleuchtend, ungenügend, fehlerhaft, unverständlich, etc. ist.

Gruß

31.08.2009, 20:32

WebFritzi

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Was ist i?

31.08.2009, 20:52

TheMathKing

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Das hatte ich auch erwähnt, zwar nicht direkt unter dieser, von dir gemeinten Ungleichung, dafür etwas weiter oben:

$\begin{eqnarray*} |x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|\leq\sup_{i\in\mathbb N}|x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|=d((x^{(n)}),(x^{(m)}))< \varepsilon \end{eqnarray*}$

dabei steht das Indize unten rechts für das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Folgenglied einer beschränkten, reellen Folge und damit ist die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -Komponentenfolge eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ .

03.09.2009, 17:28

WebFritzi

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Schade, dass du es einfach nicht raffst. Gilt diese Ungleichung nun für alle i? Oder nur für endlich viele. Oder nur für ein einziges bestimmtes? So wird das nichts... unglücklich

unglücklich

03.09.2009, 17:52

TheMathKing

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Natürlich für alle i, das ist ja gerade die Eigenschaft des Supremums für i aus N... unglücklich

unglücklich

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