Bewegungslehre - Formel für Aufprallzeitpunkt SQRT(s2y/g)

26.08.2009, 23:09

Hector2000

Bewegungslehre - Formel für Aufprallzeitpunkt SQRT(s2y/g)

hallo, komme hier bei folgender aufgabe nicht weiter:

Ein 100 kg schwerer Gegenstand rollt von einer 500m hohen Klippe herunter. Zum Zeitpunkt t=0 verlässt er den Klippenrand mit einer Geschwindigkeit von 150 m/s und mit einem Winkel von 30Grad zur Horizontalen.

Gefragt sind:
- Fallzeit
- Distanz Klippenursprung (gerade herabfallend)-Augschlagpunkt
- Geschwindigkeit beim Auftreffen

nun entnehme ich meiner Formelsammlung dass die für die Auftreffszeit t=Wurzel aus(2y/g) ist. y ist 500 also 1000/g ca. 10, macht hundert, hieraus die Wurzel ist zehn! Zehn Sekunden also.. in der Lösung steht aber was von 3,6 Sekunden. Wie zum Teufel sind die darauf gekommen?

26.08.2009, 23:19

Hector2000

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ps: es st ebenfalls nach Vox sowie Voy also den Startgeschwindigkeiten in die beiden Richtungen gefragt.
Vox=150m/s und Voy=ca10m/s !?

(sry wg dp, kann nicht editieren)

27.08.2009, 18:07

Gualtiero

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Auf diesem Gebiet der Physik habe ich grade so viel Ahnung, dass ich das Beispiel für mich rechnen konnte.
Die 150 m / sec sind ja - so nehme ich mal an - am 30° steilen Hang gemessen. Das bedeutet, dass wir die Horizontalgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} V_{x0} \end{eqnarray*}$ und die Fallgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} V_{y0} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Winkels errechnen müssen.
Also: Dreieck mit einem rechten und einem 30°-Winkel, Hypotenuse ist 150, die beiden Katheten sind jeweils der Weg pro Sekunde in horizontaler bzw. senkrechter Richtung.
Als Formel für die Wurfparabel habe ich

$\begin{eqnarray*} f(x) =- \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{x^2}{v_0^2} \end{eqnarray*}$

Da der Abwurf nicht horizontal erfolgt, sondern 30° nach unten geneigt, muss man meiner Meinung nach eine bestimmte Stelle der Parabel suchen. Und der Teil der Wurfbahn von da an 500 m abwärts ist für uns interessant.

Hilft Dir das schon?

28.08.2009, 00:10

Nubler

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normalerweise macht man sich da erst mal ne skizze.

v wird der absolutbetrag der geschwindigkeit sein, denn sonst hättest du da nen vektor stehen. also musste erst mal die beiden komponenten errechnen. (trigonometrie wird dir da weiter helfen)
dann haste was von der form $\begin{eqnarray*} \dot \vec {s_0} =\begin{pmatrix} v_{x_0} \\ v_{y_0} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
desweiteren haste ja noch als beschleunigung:
$\begin{eqnarray*} \ddot \vec s(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
somit hast du alls allgemeine geschwindigkeit zum zeitpunkt t:
$\begin{eqnarray*} \dot \vec s(t) = \begin{pmatrix} v_{x_0} \\ v_{y_0} \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun brauchste die scheitelhöhe. die geschwindigkeit in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist immer konstant. du kannst sie für diese fragestellung ignorieren und das modell des senkrechten wurfes mit $\begin{eqnarray*} v_{y_0} \end{eqnarray*}$ als startgeschwindigkeit anwenden. damit kannst du dann direkt die maximale fallhöhe und die gesamte fallzeit errechnen. (formeln in heft nachschlagen, dort sollten sie stehen)

btw: wie krieg ich punkt und pfeil direkt über buchstabe(ngruppe)?
zudem gibts für sowas eigentlich n ganzes physikerforum

28.08.2009, 09:02

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Zitat:

Original von Nubler
btw: wie krieg ich punkt und pfeil direkt über buchstabe(ngruppe)?

Kleiner Pfeil: $\begin{eqnarray*} \vec{s(t)} \end{eqnarray*}$

Großer Pfeil: $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{s(t)} \end{eqnarray*}$

29.08.2009, 13:30

mtfcs

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\dot { \vec {s(t)}}

$\begin{eqnarray*} \dot { \vec {s}}(t) \end{eqnarray*}$

\dot { \overrightarrow {s(t)}}

$\begin{eqnarray*} \dot { \overrightarrow {s(t)}} \end{eqnarray*}$

und mit \overset kannste sowas machen:

\overset {x-\sqrt a +\beta}{\vec s}

$\begin{eqnarray*} \overset {x-\sqrt a +\beta}{\vec s} \end{eqnarray*}$

30.08.2009, 08:42

Gualtiero

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Rechenbeispiel Freier Fall über Klippe
Da der Fragesteller anscheinend das Interesse an einer Weiterbearbeitung seiner Frage verloren hat, poste ich mal meinen Lösungsweg. Denn ich finde es schade, wenn eine interessante Aufgabe unfertig stehen bleibt.

Nebenbei bemerkt: schon im Hinblick darauf, dass im Boardprinzip dazu aufgefordert wird, nach Threads mit ähnlicher Fragestellung zu suchen, sollte jeder Thread mit einer Lösung schließen.
Aber das ist eine andere Geschichte.

Die Frage habe ich so verstanden: Ein 100kg schwerer Gegenstand rollt einen 30°-Abhang hinunter, der plötzlich an einer 500 m senkrecht abfallenden Klippe endet. Beim Eintritt in die Flugbahn oder zum Zeitpunkt des Überrollens der Klippenoberkante (t = 0) hat der Gegenstand eine Geschwindigkeit von 150 km/h (150 m/sec erscheinen mir unrealistisch).
Dazu eine Skizze:
[attach]11114[/attach]

Zitat:

Gefragt sind:
- Fallzeit
- Distanz Klippenursprung (gerade herabfallend)-Augschlagpunkt
- Geschwindigkeit beim Auftreffen

Da ja auch die Wurfweite gefragt ist, erstelle ich zunächst die Funktion für die Wurfparabel.
Dazu errechne ich aus der gegebenen, am Hang gemessenen Geschwindigkeit von 41.67 m/sec

-die Horizontalgeschwindigkeit: $\begin{eqnarray*} V_{x0}=cos30°\cdot 41.667 = 36.08 \end{eqnarray*}$

-und die Vertikalgeschwindigkeit (bin mir unsicher, ob und wie man sie berücksichtigen muss, also 1. Unklarheit):

$\begin{eqnarray*} V_{y0}=sin30°\cdot 41.67 = 75.0 \end{eqnarray*}$

Mit v0 = 36.08 und Erdbeschleunigung g = 9.81 ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(x) = - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot \frac{x^2}{36.08^2} = -0.003767 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Um die Parabel mit dem Abwurfpunkt, der eine Tangente von 30° (m = 0.57735) haben muss, in den Koordinatenursprung zu verlegen, muss die Funktion mit dem linearen Glied -0.57735 * x erweitert werden. Den mathematischen Beweis dafür kann ich nicht bringen; ich bin nur durch langwieriges Probieren daraufgekommen (2. Unklarheit).

$\begin{eqnarray*} f(x) = -0.003767 \cdot x^2-0.57735 \cdot x \end{eqnarray*}$

Fallzeit: $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{\frac{2y}{9.81} } = 10.1 sec \end{eqnarray*}$

Distanz zum Klippenursprung: $\begin{eqnarray*} 500 = -0.003767 \cdot x^2-0.57735 \cdot x \end{eqnarray*}$

--> p/q-Verfahren ergibt $\begin{eqnarray*} x = 295.66m \end{eqnarray*}$

Endgeschwindigkeit: Die reine Fallgeschwindigkeit = 9.81 * 10.1 = 99.04 m/sec; umgerechnet auf die Steigung der Tangente beim Aufprall (289.622°)
$\begin{eqnarray*} v_{END}=105.15 m/sec \end{eqnarray*}$

Die rote Kurve stellt meine Berechnung dar, die strichlierte deutet die Flugbahn bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 150 m/sec an, was mir wie gesagt viel zu hoch erscheint. Wie man sieht, hat der Gegenstand nach einem freien Fall von 500 m eine G. von ca. 105 m/sec. Aber mit den Formeln, so sie stimmen, kann man ja auch mit diesem Anfangswert rechnen.

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