Zahlentheorie - Kongruenz - kleiner Fermat

27.08.2009, 12:20

heinzelotto

Zahlentheorie - Kongruenz - kleiner Fermat

Hi,

ich habe eine Frage zu einem Schritt in einem Beweis, der sich mir nicht erschließen will:
Sei p prim, a eine natürliche Zahl relativ prim zu p. Dann gilt nach Fermat $\begin{eqnarray*} a^{p-1}\equiv 1 \pmod p \end{eqnarray*}$ . Nun wird gefolgert: $\begin{eqnarray*} a^{p(p-1)}\equiv 1 \pmod {p^2} \end{eqnarray*}$ , und daraus wiederum $\begin{eqnarray*} a^{p^2(p-1)}\equiv 1 \pmod {p^3} \end{eqnarray*}$ usw...
Da ist mir nicht klar, wieso die Kongruenz bestehen bleibt, wenn man auf den Modul p draufmultipliziert und beide (bzw. die linke, die rechte ist ja 1) Seiten mit p potenziert, oder anders ausgedrückt, wieso $\begin{eqnarray*} p^2|a^{p(p-1)}-1 \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank,
Heinzelotto

27.08.2009, 13:19

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Zitat:

Original von heinzelotto
Da ist mir nicht klar, wieso die Kongruenz bestehen bleibt, wenn man auf den Modul p draufmultipliziert und beide (bzw. die linke, die rechte ist ja 1) Seiten mit p potenziert, oder anders ausgedrückt, wieso $\begin{eqnarray*} p^2|a^{p(p-1)}-1 \end{eqnarray*}$ ?

Das fällt ja auch nicht vom Himmel, sondern da muss man etwas rechnen!!!

$\begin{eqnarray*} a^{p-1}\equiv 1 \pmod p \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^{p-1} = 1 +kp \end{eqnarray*}$ gibt. Nun erhebe das ganze mal zur $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -ten Potenz, unter Nutzung des binomischen Satzes:

$\begin{eqnarray*} a^{p(p-1)} = (a^{p-1})^p = (1 +kp)^p = 1 + kp^2 + \sum_{i=2}^p \binom{p}{i} (kp)^i \end{eqnarray*}$ .

Klar, was das dann modulo $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ bedeutet ? Augenzwinkern