[Gruppen]das inverses Element des inversen Elements

27.08.2009, 17:42	cvd	Auf diesen Beitrag antworten »
[Gruppen]das inverses Element des inversen Elements Hallo habe mir die Unterlagen aus dem Unterricht nochmal durchgelesen, und mir ist aufgefallen das ich diesen Beweiß nichtmehr verstehe: $\begin{eqnarray} \left(a^{-1}\right)^{-1} = a \end{eqnarray}$ Beweiß: i: $\begin{eqnarray} \left(a^{-1}\right)^{-1} = \left(a^{-1}\right)^{-1} \times e \end{eqnarray}$ ii: $\begin{eqnarray} \left(a^{-1}\right)^{-1} = \left(a^{-1}\right) \times \left(a^{-1}\times a\right) \end{eqnarray}$ Während des Unterrichts habe ich ihn aber ganz sicher verstanden, mir ist nur wieder entfallen, wie ich von i auf ii komme. Jetzt hab ich irgendwie nen Blockade, wenn mir jemand nen kleinen Denkanstoß geben könnte wäre das sehr nett. mit $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ habe ich das neutrale element der gruppe bezeichnet
27.08.2009, 17:47	cvd	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich weiß weshalb ich nichtmehr drauf komme, habs falsch in meinen Unterlagen stehen. $\begin{eqnarray} \left(a^{-1}\right)^{-1} = \left(a^{-1}\right) ^{-1}\times \left(a^{-1}\times a\right) \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} e = \left(a^{-1}\times a\right) \end{eqnarray}$ erklärt sich alles. sry für den sinnlosen post
27.08.2009, 18:40	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Post ist doch nicht sinnlos, die "Nachwelt" könnte ja noch davon profitieren. Der Beweis ist allerdings noch nicht so ganz komplett, also bessern wir ein bisschen nach. $\begin{eqnarray} &&(a^{-1})^{-1}<br /> &&\stackrel{II}{=} (a^{-1})^{-1} \times e<br /> &&\stackrel{III}{=} (a^{-1})^{-1} \times (a^{-1}\times a)<br /> &&\stackrel{I}{=} ((a^{-1})^{-1}\times a^{-1})\times a<br /> &&\stackrel{III}{=}e\times a<br /> &&\stackrel{II}{=}a \end{eqnarray}$ Wobei I, II und III die Ausnutzung der drei Gruppenaxiome kennzeichen. Dabei ist I die Assoziativität, II die Existenz des neutralen Elements und III die Existenz des inversen Elements. Also ist $\begin{eqnarray} (a^{-1})^{-1}=a\qquad \text{q.e.d.} \end{eqnarray}$ Also achte bei solchen Beweisen immer darauf, dass du alles komplett hinschreibst und dass du dich auf bestehende Regeln (z.B. Gruppenaxiome berufst).
27.08.2009, 20:33	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis ist zwar formal korrekt, wenn ihn aber der Lehrer wirklich so vorgeführt hat, so hat er - so behaupte ich einmal keck - das Konzept des Inversen eines Gruppenelements nicht 100% durchschaut. Tatsächlich beweist man ohne jeden Mehraufwand den folgenden viel allgemeineren und sowieso unumgänglichen Satz: Ist (G, $\begin{eqnarray} {}^\cdot \end{eqnarray}$ , e) eine Gruppe so ist für jedes $\begin{eqnarray} a \in G \end{eqnarray}$ das Inverse zu a eindeutig bestimmt, welches mit $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ bezeichnet wird. Beweis: Sind $\begin{eqnarray} a^ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a^{*} \end{eqnarray}$ beide Inverse zu a, so folgt aus $\begin{eqnarray} a^=a^* \cdot e = a^* \cdot (a \cdot a^{*}) = (a^ \cdot a) \cdot a^{} =e \cdot a^{} = a^{*} \end{eqnarray}$ deren Gleichheit, q.e.d. Aus $\begin{eqnarray} a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e \end{eqnarray}$ folgt nun ohne weitere Rechnung, dass a ein Inverses zu $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ und damit DAS Inverse zu $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ ist, also genau das, was zu zeigen war.

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