stetige Ergänzung / Fortsetzung |
| 27.08.2009, 16:55 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| stetige Ergänzung / Fortsetzung in meinem Skript als auch in meinen Büchern taucht nichts auf zu stetigen Fortsetzungen und/oder stetigen Ergänzungen. 1. Ist beides das gleiche? 2. Was bedeutet stetig fortsetzen und stetig ergänzen (sofern verschieden) Bsp1: Setzen Sie die Funktion in stetig fort und berechnen Sie die Ableitung der fortgesetzten Funktion in . Bsp2: Zeigen Sie ohne Berechnung von Grenzwerten, dass die Funktion in den Nullstellen des Nenners stetig ergänzt werden kann, und berechnen Sie die entsprechenden Funktionswerte der stetigen Ergänzung. Offensichtlich geht es ja um die Pole der jeweiligen Funktionen, wo die Funktionen ja eigentlich so nicht stetig sein könnten. Ich habe dazu noch nie etwas berechnet und kann leider in meinen Unterlagen auch nichts nachlesen. Vielleicht kann mir jemand ein paar Tipps geben bzw.die Aufgabenstellung erklären. Ich habe die Lösung hier, möchte es aber selbst verstehen und dann selbst rechnen können. Insbesondere würde mich wie gesagt interessieren, ob die Aufgaben vom Prinzip her das gleiche wollen oder es um unterschiedliche Dinge geht (Ergänzung/Fortsetzung?) |
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| 27.08.2009, 17:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein: Nennernullstellen sind nicht zwangsläufig Pole der Funktion - um genau diesen feinen Unterschied geht es bei dieser Aufgabe. Also Vorsicht mit solchen leichtfertigen Annahmen. |
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| 27.08.2009, 17:05 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, das hat man mir mal so gesagt. Vielleicht kannst du mir aber mehr zur Aufgabe sagen, ich habe nämlich keine Ahnung was ich machen soll. Und das wie gesagt nicht weil ich zu faul bin, sondern weil ich dazu nichts habe woran ich mich halten könnte. |
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| 27.08.2009, 17:08 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, ich überlasse anderen gern das Feld. |
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| 27.08.2009, 17:08 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zerleg doch mal in Linearfaktoren, dann kommst du wahrscheinlich sofort drauf. 
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| 27.08.2009, 17:20 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das kann ich gern tun. Allerdings möchte ich ja nicht raten und gucken was passiert, ich würde eigentlich eher wissen wollen was die Problemstellung bei der Aufgabe ist und was ich im Ergebnis zeigen soll. @Arthur: Diese Geschichte mit den Nennernullstellen=Pole steht übrigens wortwörtlich auch in meinem Skript 
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| 27.08.2009, 17:24 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, bei Wikipedia steht ja einiges dazu. Im Prinzip das was ich wissen wollte, jetzt weiß ich (hoffentlich) auch worum es geht. Wenn ich mit den Aufgaben konkret nicht weiterkomme hake ich hier nochmal nach :-) |
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| 27.08.2009, 17:24 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du die Funktion zerlegst, erhälst du: Kannst du den Gedanken jetzt weiter fassen? Ist die Stelle -3 wirklich eine Polstelle? |
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| 27.08.2009, 17:29 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist eine Lücke, die ggf. stetig ergänzt werden kann. Alle Nullstellen des Nenners sind auch Nullstellen des Zählers. Würde es für die Ergänzung eigentlich einen Unterschied machen wenn z.B. nur eine der beiden Nennernullstellen auch eine Zählernullstelle wäre ? |
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| 27.08.2009, 17:36 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich Polynomdivision durchführe erhalte ich -x-1. dieses Polynom müsste jetzt doch für alle Funktionswerte mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmen, oder? |
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| 27.08.2009, 17:48 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann könntest du halt nur diese eine Stelle stetig beheben.
Nein, nicht für alle. Die Definitionsmenge ist nämlich nicht R sondern R \ {-3;2}. Die Funktion -x-1 hat dann an diesen Stellen einfach ein Loch (aber keine Polstelle!) Ich merke grade, bei meiner Gleichung unten, hab ich ein Minus vergessen... |
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| 27.08.2009, 18:05 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also wenn die Nennernullstelle auch Zählernullstelle ist dann kann ich es stetig ergänzen? Wie wäre denn eine Lösungsvariante über Grenzwerte, wenn diese Variante in der Aufgabe ja auch angesprochen wurde? |
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| 27.08.2009, 18:12 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Huh, da bin ich überfragt
. Ich denk mir mal, dass da dann gilt: Grenzwert von links gleich Grenzwert von rechts ?!? |
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| 28.08.2009, 06:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht steht da auch als Voraussetzung, daß Zähler- und Nennerpolynom keine gemeinsamen Linearfaktoren haben dürfen. Wenn nicht, ist das falsch.
Klares jein. Befolge diese Regeln: allgemeine Vorgehensweise zur Behandlung von gebrochen rationalen Funktionen: 1. Schritt: alle Nullstellen vom Nenner bestimmen. Dies sind die Definitionslücken. 2. Schritt: alle Nullstellen vom Zähler bestimmen und Zähler und Nenner mit Hilfe der Nullstellen faktorisieren. 3. Schritt: gemeinsame Faktoren aus Zähler und Nenner kürzen. 4. Schritt: Nach dem Kürzen sind die Nullstellen der Funktion die Nullstellen vom Zähler. 5. Schritt: Nach dem Kürzen sind die Polstellen der Funktion die Nullstellen vom Nenner.
Im Prinzip ähnlich. Wenn x_0 eine Definitionslücke ist, dann ersetzt man x = x_0 + h und läßt h gegen Null laufen, wobei man einmal h > 0 und einmal h < 0 betrachtet. |
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| 28.08.2009, 14:23 | Hängemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für diese "Anleitung", ich werde sie nachher wenn ich zu Hause bin ausprobieren. Eine Frage habe ich aber jetzt schon: Die Aufgaben lauten ja ist eine Funktion f(x)=p(x)/q(x) in ihren Nullstellen stetig ergänzbar? Wie komme ich also nach dem Faktorisieren und Kürzen auf eine Aussage über die Ergänzbarkeit der zu betrachtenden Nullstellen der Ursprungsfunktion ? |
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| 28.08.2009, 15:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nach dem Kürzen weißt du, welche Definitionslücken Polstellen sind. Die anderen Definitionslücken sind stetig ergänzbare Lücken.
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