LGS mit variablen

28.08.2009, 10:29	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit variablen HAllo, folgende Aufgabe ist gegeben: Für welche Werte von a, b besitzt das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} x_1 + x_2 + (b + 1)x_3 = b + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_1 + 3x_2 + (a + 2b + 2)x_3 = 4b + 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x_1-x_2+(a-b-1)x_3=-2 \end{eqnarray}$ i) genau eine Lösung ii) unendlich viele Lösungen iii) keine Lösung Wie geht man hier vor. Wäre nett wenn das wer mit mir durchgehen könnte. Danke!!
28.08.2009, 11:23	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehe so vor wie immer wenn du ein solches Gleichungssystem lösen musst und eliminiere in einer Zeile 2 Unbekannte (Dreiecksform) Wenn du das getan hast kann man an der Gleichung, wo jetzt nur noch eine Unbekannte im Spiel ist bestimmte Dinge über die Lösbarkeit des LGS sagen.
28.08.2009, 17:05	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x_1+x_2+(b+1)x_3=b+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0+x_2+ax_3=2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0+0+ax_3=b-1 \end{eqnarray}$ i)habe jetzt für genau eine Lösung falls a ungleich 0: $\begin{eqnarray} \left[ \frac{1-b^2}{a};b+1 ; \frac{b-1}{a}\right] ^T \end{eqnarray}$ ii)Da ich das LGS in die Dreiecksform gebracht habe kann ich aus der letzten Zeile entnehmen das es unendlich viele Lösungen gibt, falls $\begin{eqnarray} a=0 ; b= 1 \end{eqnarray}$ in meine Unterlagen haben wir dann allerdings noch einen Vektor daraus gebildet, wo ich nicht weiß wie man darauf kommt. $\begin{eqnarray} x= \left[-2t;2;t\right] ^T \end{eqnarray}$ Wahrscheinlich muss ich die a=0 und b=1 in die unter i) errechneten Werte für x1, x2 und x3 einsetzen. Woher aber kommt das t ???? iii) keine Lösung, falls $\begin{eqnarray} a=0 , b\neq 1 \end{eqnarray}$
28.08.2009, 18:16	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht doch schon sehr gut aus. Für die konkreten Lösungen in (ii) musst du in ALLE Gleichungen a=0 und b=1 setzen und übrig bleibt dann x1=1-2x3 x2=2 Man kann dann noch x3=t setzen, für jedes t aus IR ensteht dann eine andere Lösung.
28.08.2009, 20:06	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay jetzt hab ich´s. Danke!!
29.08.2009, 11:12	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, habe hier noch so eine Aufgabe : $\begin{eqnarray} 2x_1+x_2 =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1+2x_2+x_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2+2x_3+x_4=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3+\alpha x_4=\beta \end{eqnarray}$ Für welche Werte von $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ besitzt das lineare Gleichungssystem i) genau eine Lösung ii) unendlich viele Lösungen iii) keine Lösung Bekomme das x3 nicht weg??
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29.08.2009, 11:48	FrankyHill	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mal wer gucken ob des hinkommt. Habe das System erstmal in Dreicksform gebracht und bekomme dann für den Fall das $\begin{eqnarray} \alpha \neq 0 \end{eqnarray}$ ist folgendes raus. Genau eine Lösung wenn $\begin{eqnarray} \left[-\frac{\beta }{\alpha } ;\frac{2\beta }{ \alpha };\frac{-3\beta }{ \alpha } ;\frac{4\beta }{\alpha } \right] ^T \end{eqnarray}$ Stimmt das so??? ii) unedlich viele Lösungen wenn $\begin{eqnarray} \alpha= \frac{3}{4} ;\beta= 0 \end{eqnarray}$ iii) keine Lösung falls $\begin{eqnarray} \beta =0;\alpha \neq \frac{3}{4} \end{eqnarray}$

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