Ableitung einer Funktionenschar

22.09.2006, 18:49

Gombotz

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Ableitung einer Funktionenschar

Hallo Leute, sitz grad vor den HAs und komm net weiter.
Die Aufgabe:
Aus einem stück Pappe (Länge: 16 cm, Breite: a in cm) werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten und die überstzehenden Teile nach oben gebogen, es ergibt sich eine Schachtel. Für welches a hat sie ein maximales Volumen?

Meine Gleichung( x ist die Seitenlänge der Quadrate ) :

V(x) = x*(16 - 2x)*(a - 2x)
V(x) = 4x^3 - 32x^2 - 2ax^2 + 16ax

Für Extrema: V'(x) = 0

V'(x) = 0 = 12x^2 - 64x - 4ax + 16a

Und jetzt??????

Muss ich mit V(x) eine nullstelle ausrechnen und dann eine Polynomdivision machen?
Helft mir, ich hab im Mom überhaupt keinen Plan.

22.09.2006, 19:01

kako

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RE: Ableitung einer Funktionenschar
Jetzt musst du eigentlich nach x auflösen.

$\begin{eqnarray*} 0 = 12x^{2}-64x-4ax+16a \end{eqnarray*}$

22.09.2006, 20:32

Gombotz

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Ich weiß, aber wie mache ich das mit dem a da drin?

22.09.2006, 20:33

Gombotz

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Würde eine pq-Formel funzen, ich schau mal...

22.09.2006, 20:35

zt

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Theoretisch - und praktisch? - ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ deine Variable und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Konstante.. komisch. Aber versuch's mal.

Edit: Dann nicht die pq-Formel anwenden, sondern einfach nur umstellen.

22.09.2006, 21:18

Gombotz

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Eben dies "Umstellen" ist mein Problem, da Meiner meinung nach a und x Variablen sind: Wird x kleiner, wird a größer und umgekehrt.
Und für zwei Variablen fehlt mir dann letztendlich eine Gleichung...

...oder hab ich irgendwo nen Denkfehler? verwirrt

verwirrt

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22.09.2006, 21:24

zt

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Einfach nur umstellen..
$\begin{eqnarray*} a=\frac{x\cdot{(3\cdot{x} - 16)}}{(x - 4)} \end{eqnarray*}$

Edit: Achne, du musst deine obige Fkt. nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ableiten, also

$\begin{eqnarray*} V'(x)=16\cdot{x} - 2\cdot{x^2} \end{eqnarray*}$

22.09.2006, 22:32

cst

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Zitat:

Original von Gombotz
Eben dies "Umstellen" ist mein Problem, da Meiner meinung nach a und x Variablen sind: Wird x kleiner, wird a größer und umgekehrt.
Und für zwei Variablen fehlt mir dann letztendlich eine Gleichung...

...oder hab ich irgendwo nen Denkfehler? verwirrt

verwirrt

a und x sind nicht beides Variablen, sondern eines davon ist ein Parameter (wahrscheinlich a). a und x sind unabhängig voneinander (abgesehen davon, dass $\begin{eqnarray*} x \leq \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ , mehr kann man ja nicht wegschneiden).

Falls die Aufgabe wirklich lautet " Für welches a hat sie ein maximales Volumen?", müsstest du tatsächlich nach a ableiten und x ist der Parameter (Ergebnis $\begin{eqnarray*} V'(a)=16\cdot{x} - 2\cdot{x^2} \end{eqnarray*}$ ) und dann alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} V'(a)= 0 \end{eqnarray*}$ ist. Ergebnis: Gibt kein solches a, weil a in V'(a) gar nicht vorkommt. Darin kommt zum Ausdruck, dass wenn du a immer größer machst, das Volumen auch immer größer, aber nie wieder kleiner wird. D.h. die Funktion V(a) hat gar kein Maximum. Die Aufgabe ist unsinnig.

Ein Sinn ergibt sich mit der Aufgabe "Für welches x hat sie ein maximales Volumen?". Dann ist a der Parameter, der bis zum Schluss immer durchgeschleift wird. Dann musst du nach x ableiten und da warst du in deinem Eingangspost schon auf dem richtigen Weg, und es gilt, was kako geschrieben hat:

Zitat:

Original von kako
Jetzt musst du eigentlich nach x auflösen.

$\begin{eqnarray*} 0 = 12x^{2}-64x-4ax+16a \end{eqnarray*}$

Tipp:
$\begin{eqnarray*} 0 = 12x^{2}-64x-4ax+16a \\ 0 = 12x^{2}-(64x+4a)x+16a \end{eqnarray*}$ ,
dann p-q-Formel.

Schau mal nach, ob nicht doch nach x gefragt ist.

22.09.2006, 22:45

zt

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Na doch, das Maximum ist halt von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig. Also "keine" Lösung stimmt nicht.

22.09.2006, 22:51

Gombotz

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Ah, ok, das macht auf jeden Fall Sinn.

Der genaue Wortlaut: "Für welche Maße bekommt die Schachtel ein maximales Volumen?"

Also eher Interpretationssache :P
Aber danke für eure Hilfe, werd ich morgen dann ausprobieren...

Thanx a lot.

22.09.2006, 22:59

cst

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Ich hab mal einfach ein festes x=2 gewählt, um den Graphen zeichnen zu können. Dann wird aus
$\begin{eqnarray*} V_x(a) & = & x \cdot (16 - 2x) \cdot (a-4) \\ V_2(a) & = & 24\cdot (a-4) \end{eqnarray*}$ . (Das x im Funktionsplotter steht für das a). Das ist eine Gerade. --> Es gibt kein a, für das das Volumen maximal wird (egal, welches x man wählt.)

22.09.2006, 23:16

zt

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$\begin{eqnarray*} V'(x)=16\cdot{x} - 2\cdot{x^2} \end{eqnarray*}$

<- das ist doch schon das Ergebnis.

22.09.2006, 23:29

cst

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Inwiefern Ergebnis? Wie lang müssen denn die Kanten der Schachtel deines Erachtens sein, damit das Volumen maximal wird?

Bedenke: 16x-2x^2 ist V'(a), und nicht V'(x), d.h.
a war deine "Ableitevariable". Und mann muss von der 1. Ableitung noch die Nullstellen finden.

22.09.2006, 23:57

zt

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Naja, aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann doch nur $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ cm lang sein.

(was übrigens darauf hinausläuft, dass $\begin{eqnarray*} a=16 \end{eqnarray*}$ ist, womit wiederum ein Würfel entsteht)

23.09.2006, 00:18

cst

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Wieso kann x nur 8 cm sein? Du hast besimmt 0 = 16x-2x^2 nach x umgestellt. Aber:

Du siehst a als Variable an, x als Parameter. Gut. Jetzt suchst du das Maximum der Funktion V(a) (also bzgl. a). Dazu musst du V(a) nach a ableiten und Null setzen, das ist richtig. Dann aber musst du auch diejenigen a (nicht x!) finden, für die V'(a) Null wird. Und eben das wird dir nicht gelingen, weil V(a) kein Maximum hat. Du vermuschelst hier a und x.

Anschaulich: x ist ja fester Parameter. Wenn du die Pappenbreite a immer weiter vergrößerst, wird auch das Volumen immer größer. a noch größer -> V noch größer usw.

Übrigens: Wenn x=8 ist deswegen noch lange nicht a=16, sondern bestenfalls a >= 16. Da die Schachtelbreite a-2x ist, ergibt sich für a=16 und x=8 die Schachtelbreite 0, und damit V=0. Das ist kein Würfel.

23.09.2006, 00:44

zt

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Ich denk' aber morgen d'rüber nach. Aber im Prinzip ist's logisch was du schreibst!

Und ja, das mit dem Würfel war Quatsch. Schlechte Kopfrechenkünste. *g

23.09.2006, 00:45

cst

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Na dann bis morgen. Gute N8!

23.09.2006, 00:46

zt

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Ne, jetzt wird erstmal 'n bissel Mathe gemacht hier. Dir gute N8 und Danke hier. smile

smile

Kings from xBerg!

Edit: Oh man, klar.. ne Gerade hat ja keine Extrema. Big Laugh

Big Laugh

Ich check's jetzt erst. Sorry. Okay, die Aufgabe ist sinnfrei. Sry. Teufel

Teufel

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