Inverse: Strikte untere Dreiecksmatrix

28.08.2009, 14:33

eierkopf1

Inverse: Strikte untere Dreiecksmatrix

Hallo!

Folgendes muss ich zeigen:
$\begin{eqnarray*} L \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ ist eine strikte untere (oder obere) Dreiecksmatrix.

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} (I-L)^{-1} = \sum_{k=0}^{n-1}L^k \end{eqnarray*}$

Habe leider keinen Ansatz. unglücklich

Wie kann man das zeigen?

28.08.2009, 14:40

Mazze

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Zitat:

Wie kann man das zeigen?

Die Inverse ist eindeutig, das heisst wenn Du

$\begin{eqnarray*} (I - L)\left(\sum_{k=0}^{n-1}L^k\right) \end{eqnarray*}$ ausrechnest, und die Einheitsmatrix herauskommt bist Du fertig.

edit:

Sicher das Du uns alle Informationen zur Aufgabe gegeben hast? Wenn ich das ausrechne kommt nicht Einheitsmatrix heraus.

edit2:

Es haut hin, habe das "strikt" vergessen, das macht L natürlich nilpotent.

28.08.2009, 14:57

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

$\begin{eqnarray*} (I - L)\left(\sum_{k=0}^{n-1}L^k\right)=\sum_{k=0}^{n-1}L^k-\sum_{k=0}^{n-1}L^{k+1}= I - L + L - L^2.....-L^{n-1}+L^{n-1}-L^n=I-L^n = I \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} L^n \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix ist. (Das müsste ich noch zeigen. Wie mache ich das noch am schnellsten?)

28.08.2009, 15:05

Mazze

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Eine Matrix A ist nilpotent genau dann , wenn das char. Polynom die Form $\begin{eqnarray*} \lambda^n \end{eqnarray*}$ hat. Dir reicht sogar nur die Rückrichtung.

28.08.2009, 15:28

eierkopf1

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Nilpotent hatten wir in der Vorlesung leider nicht und deswegen auch keine Charakterisierung davon. (Das lag sicher an unserem LinAlg1-Prof unglücklich

).

Da wir das charakteristische Polynom als $\begin{eqnarray*} p_A(t) = \det ( A - tI) \end{eqnarray*}$ definiert haben, sollte der Satz wohl besser so lauten:
Eine Matrix A ist nilpotent genau dann , wenn das char. Polynom die Form $\begin{eqnarray*} p_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n \end{eqnarray*}$ hat.

Aber die Rückrichtung, die ich benötige, folgt ja direkt aus dem Satz von Cayley-Hamilton. smile

Also ist alles geklärt.

Vielen Dank für die Hilfe.

28.08.2009, 15:29

Mazze

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Zitat:

Aber die Rückrichtung, die ich benötige, folgt ja direkt aus dem Satz von Cayley-Hamilton

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