Kodimension

28.08.2009, 17:14

nagato

Kodimension

Hallo Leute,

Hab ein Problem mit der Kodimension eine Unterraums.

Also seien W ein Vektorraum und U ein Unterraum von W

Was sagt dann die codim(U) aus?
Gibt es da eine anschauliche Bedeutung?

vielen Dank

28.08.2009, 17:29

jester.

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Na ja, "anschaulich" ist die Kodimension der "Größenunterschied" zum Oberraum.

Aber jetzt zwanghaft nach irgendeiner Anschauung zu suchen, bringt nichts, m.E.
Vielleicht noch interessant: Ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}\leq\mathcal{V} \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{codim}(\mathcal{U})=\dim \mathcal{V/U} \end{eqnarray*}$ .

28.08.2009, 17:47

nagato

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hi
danke für die schnelle antwort
das reicht mir schon als Anschauung

$\begin{eqnarray*} \mathcal{U}\leq\mathcal{V} \end{eqnarray*}$
das Zeichen ist mir nicht bekannt für Vektoräume.

und

Zitat:

Na ja, "anschaulich" ist die Kodimension der "Größenunterschied" zum Oberraum.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{codim}(\mathcal{U})=\dim \mathcal{V/U} \end{eqnarray*}$

dann wäre $\begin{eqnarray*} \dim \mathcal{V/U} \end{eqnarray*}$ ja der "Größenunterschied"
gibt es eine Erklärung dies einzusehn?

28.08.2009, 17:54

jester.

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Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ , so heißt $\begin{eqnarray*} U\leq V \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt noch mal zu dem "Größenunterschied". Also ich bin mir gar nicht so sicher, ob das die sinnvollste Erklärung ist - der Begriff "Größe" mutet hier ja schon etwas seltsam an.

Also: Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \dim V=n \end{eqnarray*}$ . Sei zudem $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein k-dimensionaler Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{codim} U=\dim V -\dim U=n-k \end{eqnarray*}$ .

Die Kodimension von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gibt also den "dimensionsmäßigen Größenunterschied" von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ an.

28.08.2009, 18:04

nagato

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jo, genau so hat ich mir das auch vorgestellt als du "Größenunterschied" geschreiben hast.

Ich würde nur noch gerne wissen warum,

$\begin{eqnarray*} \operatorname{codim} U=\dim V -\dim U=\dim \mathcal{V/U} \end{eqnarray*}$

ist?

28.08.2009, 18:12

jester.

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Weißt du denn, was ein Faktorraum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ist?

Es gibt die surjektive kanonische Abbildung $\begin{eqnarray*} \pi~:~V\to V/U,~x\mapsto [x] \end{eqnarray*}$ , deren Kern gerade $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist.

Dann folgt aus der Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} \dim V=\dim \ker \pi + \dim \operatorname{Bild} \pi \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \dim V/U=\dim V- \dim U \end{eqnarray*}$ .

28.08.2009, 18:17

nagato

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vielen dank

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