Grenzwert n-te Wurzel aus n Fakultät durch e hoch n

28.08.2009, 17:22

JuliusSpringer

Grenzwert n-te Wurzel aus n Fakultät durch e hoch n

Hallihallo Community,

ich bin gerade am HM pauken, und bin auf folgenden Grenzwert gekommen, bei dem ich mir über den formalen Beweis sehr unschlüssig bin.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{^{n}\sqrt{n!}}{e^n} = 0 \end{eqnarray*}$

Wichtig hier ist, dass ich nicht mit der Stirling-Formel abschätzen darf. Diese haben wir nämlich nicht behandelt.

Und die e Funktion als Potenzreihe hat mir auch nicht weiter geholfen.

Irgendwelche Tipps?

28.08.2009, 17:32

Auf diesen Beitrag antworten »

Bilde für das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{\sqrt[n]{n!}}{e^n} \end{eqnarray*}$ den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ und versuche, den geeignet zu vereinfachen. Wenn du zeigst, dass dieser Quotient (zumindest ab einem geeigneten Index) eine obere Schranke $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ besitzt, bist du fertig - warum?

28.08.2009, 17:57

JuliusSpringer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_n} < 1 \end{eqnarray*}$ ist das gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_n \end{eqnarray*}$ .

Damit hab ich dann gezeigt, dass a_n, ab einem besimmten Index monoton fällt für fast alle n. Da alle Folgenglieder positiv sind muss $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ somit gegen Null streben.

Dieser "Satz" hört sich ja ganz gut an, aber soweit ich weiß, haben wir diesen nicht bewiesen. Bin mir also nicht sicher ob wir diesen einfach so benutzen dürfen. Mit der Umformung haperts bei mir auch momentan, ich habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_n} = \frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!} \cdot e^n}{e^{n+1} \cdot \sqrt[n]{n!}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das $\begin{eqnarray*} e^n \end{eqnarray*}$ kürze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{e \cdot \sqrt[n]{n!}} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich die n-te Wurzel umschreiben:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{e} \cdot \frac{(n+1)!^{\frac{1}{n+1}}}{n!^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

weiter umformen kann ich das auch noch:
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{e} \cdot (\frac{(n+1)!^{\frac{1}{1+\frac{1}{n}}})^{\frac{1}{n}}}{n!^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

Aber ob mir das was bringt.

Kann mich jemand in die richtige Richtung leiten?

28.08.2009, 18:11

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ginge nicht auch die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} 0<\frac{\sqrt[n]{n!}}{e^n}<\frac{n}{e^n} \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} \frac{n}{e^n}\stackrel{{n\to\infty}}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{n!}}{e^n}\stackrel{{n\to\infty}}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$ ?

28.08.2009, 18:36

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ungewiss
Und da $\begin{eqnarray*} \frac{n}{e^n}\stackrel{{n\to\infty}}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$

Wenn das schon benutzt werden darf: Ja.

28.08.2009, 18:39

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Da ja die Potenzreihe erwähnt wurde, und man das mit dieser meines Wissens nach zeigen kann, dürfte das also klappen.

28.08.2009, 18:40

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist wohl auch der vorzuziehende Weg, da muss man nicht unnötig lang mit den obigen Wurzeln rumhakeln. Augenzwinkern

28.08.2009, 18:42

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen war ich mir auch unsicher, ob das funktioniert, da du ihn nicht vorgeschlagen hattest Augenzwinkern

28.08.2009, 18:43

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur um den anderen Weg zu vervollständigen: Erweitere die Wurzeln, so dass du die n(n+1)-Wurzel ziehst, dann kannst du es als eine Wurzel schreiben, dann fasst du die Potenzen in einer Klammer zusammen, dann kürzt sich bei mir alles raus, bis nur noch 1 dasteht. Mit dem Vorfaktor 1/e ergibt sich eine kleinere Zahl als 1.

Edit: Hab nen Exponenten vergessen, aber es wird doch deutlich einfacher.

Edit 2: Und ne Fakultät, sieht fast noch schlimmer aus als vorher, aber ließe sich nun abschätzen Hammer

28.08.2009, 18:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ungewiss
Deswegen war ich mir auch unsicher, ob das funktioniert, da du ihn nicht vorgeschlagen hattest Augenzwinkern

Womit dann ein für alle Mal gezeigt wurde, dass meine Vorschläge nicht immer optimal sind. Big Laugh

28.08.2009, 19:17

JuliusSpringer

Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Abschätzung!!!

Ich wäre aber überhaupt nicht darauf gekommen, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} < n \end{eqnarray*}$ ist.

Ich habe mal probiert das mit Induktion zu beweise. Ich weiß, ich triffte hier ein bisschen vom Thema ab.

IA: n = 1: $\begin{eqnarray*} \sqrt[1]{1!} = 1 \leq 1 \end{eqnarray*}$

IV: Es existiert ein n für das gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} < n \end{eqnarray*}$

IS: : $\begin{eqnarray*} \sqrt[n+1]{(n+1)!} = (n! \cdot (n+1))^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n!^{\frac{1}{n+1}} \cdot (n+1)^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} n!^{\frac{1}{n}} \cdot (n+1)^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$

IV ->

$\begin{eqnarray*} = n \cdot (n+1)^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert: $\begin{eqnarray*} (n+1)^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$ ist für n -> unendlich = 1

Somit ist die Induktion fertig.

Stimmt meine Abschätzung. Wäre nett wenn da jemand drüber schauen könnte!

Danke!

28.08.2009, 20:16

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich habe mir das so gedacht

$\begin{eqnarray*} 1\cdots n=n!<\underbrace{n\cdots n}_{\text{n Faktoren}}=n^n\quad\text{Für } n>1 \end{eqnarray*}$

Da alles positiv ist, ist das ziehen der n-ten Wurzel eine Äquivalenzumforumg. Also müsste es doch reichen, $\begin{eqnarray*} n!\le n^n \end{eqnarray*}$ durch Induktion zu beweisen.

28.08.2009, 20:19

Auf diesen Beitrag antworten »

(viiiel zu langsam)

29.08.2009, 18:05

JuliusSpringer

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert n-te Wurzel aus n Fakultät durch e hoch n

Verwandte Themen