Eigenwerte einer Matrix

28.08.2009, 17:31

FrankyHill

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Eigenwerte einer Matrix

Gegeben ist folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

i) Bestimmen der Eigenwerte

Habe hier raus $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 ; \lambda_2=2 ; \lambda_3=7 \end{eqnarray*}$

ii) Für $\begin{eqnarray*} x\in R^3 \end{eqnarray*}$ berechne man $\begin{eqnarray*} x^T Ax \end{eqnarray*}$

Wie funktioniert das den???

28.08.2009, 17:35

jester.

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Die Eigenwerte sind richtig.

Das mit dem Berechnen von $\begin{eqnarray*} x^{tr}Ax \end{eqnarray*}$ geht, indem du einen Vektor $\begin{eqnarray*} x:=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nimmst, und diesen von rechts und links an die Matrix multiplizierst.

Ich gehe jetzt mal davon aus, dass du Matrix- und Vektormultiplikation beherrschst.

Jedenfalls solltest du bei dieser Berechnung etwas bestimmtes feststellen. Hast du eine Ahnung, worauf diese Multiplikation abzielt?

28.08.2009, 17:38

FrankyHill

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Soll dann in etwa so aussehen oder?

$\begin{eqnarray*} \left[x_1; x_2; x_3\right] *\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \end{vmatrix}* \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bis jetzt hab ich noch keine Idee auf was das hinaus läuft.

28.08.2009, 17:45

jester.

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So würde das aussehen, ja, aber das musst du jetzt ausmultiplizieren. Das läuft darauf hinaus, dass du einen Ausdruck größer Null erhältst, für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ .

Ist der Ausdruck "positiv definit" schon irgendwo gefallen?

28.08.2009, 17:48

FrankyHill

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Also bekomme wenn ich das ausrechne

$\begin{eqnarray*} x_1^2+3x_2^2+4x_2x_3+6x_3^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

28.08.2009, 17:57

jester.

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Ja, das habe ich herausbekommen. Ist das die ganze Aufgabe oder ist noch mehr zu erledigen?

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28.08.2009, 18:05

FrankyHill

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iii)

Man verifiziere, dass für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R ^3 \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^T Ax >0 \end{eqnarray*}$ gilt

verwirrt

verwirrt

28.08.2009, 18:08

FrankyHill

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Gut da A ja nur positive Werte besitzt muss x ja ungleich 0 sein.

Bzw. gilt $\begin{eqnarray*} x^T Ax >0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$

28.08.2009, 18:15

jester.

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Aha. Hast du denn eine Idee, wie du das von dir errechnete $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}+4x_{2}x_{3} \end{eqnarray*}$ mit dieser Ungleichung in Verbindung bringen kannst?

Edit:

Zitat:

Original von FrankyHill
Gut da A ja nur positive Werte besitzt muss x ja ungleich 0 sein.

Bzw. gilt $\begin{eqnarray*} x^T Ax >0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$

Die Begründung verstehe ich nicht. Was pssiert denn in den ganzen Fällen, wo negative Zahlen in deinem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stehen?

28.08.2009, 18:24

FrankyHill

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Also würde das mir so erklären. Da mein A nur positive Werte besitzt , werde ich für jedes x ungleich 0 immer ne positive Zahl bekommen.

Bsp: x = -1

(-1) * A * (-1) = +...

Da Minus * Minus = + und Plus * Plus = + kommt immer ne Zahl größer O raus.

28.08.2009, 18:30

jester.

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Die Begründung ist wohl etwas schwammig. Die Ungleichung lässt sich jedoch elegant an dem zeigen, was du berechnet hast:

$\begin{eqnarray*} x^{tr}Ax=(x_{1},x_{2},x_{3})A\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix} = x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}+4x_{2}x_{3} = ... > 0 \end{eqnarray*}$

Forme das Errechnete so um, dass nur noch Quadrate da stehen, die ja bekanntlich immer positiv sind, für $\begin{eqnarray*} x_{i}\neq 0,~ i\in \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ .

28.08.2009, 18:37

FrankyHill

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Wie umformen das nur noch Quadrate stehen?? Die $\begin{eqnarray*} 4x_2x_3 \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite holen??

28.08.2009, 18:40

jester.

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Nein, denk mal an die binomische Formel.

Nachtrag Also konkret, fasse den gemischten Term $\begin{eqnarray*} 4x_{2}x_{3} \end{eqnarray*}$ mit einem Teil der $\begin{eqnarray*} 3x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} 6x_{3}^{2} \end{eqnarray*}$ zu einem Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} (a+b)^{2} \end{eqnarray*}$ zusammen.

31.08.2009, 08:01

jester.

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$\begin{eqnarray*} x^{tr}Ax=(x_{1},x_{2},x_{3})A\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix} = x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}+4x_{2}x_{3} = x_{1}^{2}+(x_{2}^{2}+4x_{2}x_{3}+4x_{3}^{2})+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+(x_{2}+2x_{3})^{2} > 0 \end{eqnarray*}$

Wo lag jetzt dabei das Problem? Du warst seit Freitag jeden Tag online und hast dich hier überhaupt nicht mehr zurückgemeldet. unglücklich

unglücklich

31.08.2009, 08:43

klarsoweit

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Frage am Rande: ist das Schulmathe?

31.08.2009, 09:58

FrankyHill

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Oh, sorry. Entschuldige, habe da heute die Klausur ansteht soviel um die Ohren gehabt am WE das ich völlig übersehen hab das wir hier noch nicht fertig waren. Möchte aber auf dem Weg mal allen für die schnelle und sehr gute Hilfe danken.
Schön das es Seiten wie diese gibt.

Mfg Franky

31.08.2009, 13:08

eierkopf1

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Zur Ergänzung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit...it_von_Matrizen

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