Textaufgabe zur Vektorrechnung (Lageaufgaben bei Geraden)

28.08.2009, 22:05	dee	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe zur Vektorrechnung (Lageaufgaben bei Geraden) Ich quäle mich jetzt schon einige Zeit mit dieser Aufgabe, komme aber nicht voran. Leider habe ich nur einen mangelhaften Ansatz, weswegen ich auf "professionelle Hilfe" hoffe. Dies ist die Aufgabe: In einem Bergwerk kam es zu einem Wassereinbruch. Das Wasser steht bei -90 m. Die Bergleute konnten sich in eine Höhle retten. Der Höhleneingang hat die Koordinaten (120\| 315\| -80) in Meter. Ein Stollen verläuft vom Höhleneingang in Richtung (-25\|-36\|-12). Die Rettungsbohrung soll nicht durch die Höhlendecke erfolgen, da dadurch die Bergleute möglicherweise verletzt werden könnten. Es soll versucht werden, mit einer senkrechten Bohrung von der Erdoberfläche (x1-x2-Ebene) den Stollen auf einem Teilstück zu treffen, das nicht geflutet ist. Finden Sie den Bereich auf der Erdoberfläche, von dem aus die Bohrungen den Stollen zwischen dem Wasser und dem Höhleneingang treffen. Anmerkung: "(-25\|-36\|-12)" soll als Vektor (die Zahlen also übereinander geschrieben) sein. Wasser steht also bei -90 m, Höhleingang bei -80 m Mein Ansatz: (120/315/-80) + (-25/-36/-12) = (95/279/-92) Die Gerade der senkrechten Bohrung muss sich mit der "Gerade" des Stollen schneiden, sprich ich brauche zwei Paramaterdarstellungen, die ich gleichsetzen kann...doch wie lauten die? wie erhalte ich die? Kann mir bitte jemand helfen?
28.08.2009, 22:49	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Textaufgabe zur Vektorrechnung (Lageaufgaben bei Geraden) Ich weiß nicht, hab ich eine Denkblockade oder was ist los? Wenn das Wasser erst bei -90m (minus 90) steht, liegt der Höhleneingang mit -80m (minus 80) ja 10m über dem Wasser. Und vom Höhleneingang geht es ja bergauf bis Niveau -25. Was ist dann überflutet?
29.08.2009, 01:23	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
@Gualtiero: der Richtungsvektor des Stollens hat eine negative $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ -Koordinate und geht somit in die Tiefe. Auszurechnen ist nun $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ , also wann ist die Tiefe von 90 m erreicht. Es gilt dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 120 \\ 315 \\ -80 \end{pmatrix} + \lambda_1\begin{pmatrix} -25 \\ -36 \\ -12 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ -90 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit kannst du Anfangs- und Endpunkt des (wasserfreien) Stollens bestimmen, wobei die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ -Koordinaten mit dem Bohrbereich auf der Erdoberfläche übereinstimmen. $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray*}$ ist dann natürlich 0.
29.08.2009, 18:54	dee	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, ich hab folgendes rausbekommen: Lambda = 5/6 x1 = 99 1/6 x2 = 285 also liegt der Bereich des wasserfreien Stollens zwischen (120/ 315/ -80) und (99 1/6 / 285/ -90) aber was mache ich nun??? ich weiß wirklich nicht weiter, ich hab die gleiche rechnung die du vorgeschlagen hast auch mit x3 = 0 durchgeführt, aber nur schwachsinnswerte erhalten... ich verstehe auch diese formulierung der aufgabe nicht: "Finden Sie den Bereich auf der Erdoberfläche, von dem aus die Bohrungen den Stollen zwischen dem Wasser und dem Höhleneingang treffen." soll ich also als Endergebnis keinen Punkt bzw. Vektor angeben??? einen schnittpunkt soll ich definitiv auch nicht angeben, oder?
29.08.2009, 22:57	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Um den Bereich an der Erdoberfläche zu bestimmen, gehst du senkrecht von deiner Strecke, die den wasserfreien Stollen beschreibt, nach oben bis $\begin{eqnarray} x_3=0 \end{eqnarray}$ ist. Senkrecht nach oben heißt entlang der $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ - Achse, wobei $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ unverändert bleiben. Es ist sozusagen die Projektion auf die $\begin{eqnarray} x_1-x_2 \end{eqnarray}$ -Ebene. Somit ergibt sich für den Punkt senkrecht über dem Eingang an der Oberfläche $\begin{eqnarray} P_1=\begin{pmatrix} 120 \\ 315 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Endpunkt des Bohrbereichs liegt senkrecht über dem Ende des wasserfreien Stollens: $\begin{eqnarray} P_2=\begin{pmatrix} 99,17 \\ 285 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es darf also entlang der Strecke $\begin{eqnarray} \overline{P_1P_2} \end{eqnarray}$ gebohrt werden
30.08.2009, 08:22	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
@frank09 Verspätet aber doch: Danke für den Tipp. Obwohl mir noch immer nicht klar ist, warum nicht auch im Bereich zwischen Höhleneingang und Stolleneingag gebohrt werden kann, bzw. warum sich die Bergleute nicht gleich durch den aufwärts führenden Stollen retten können. Aber lass nur, ist unwichtig. Alles OK!
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30.08.2009, 19:31	dee	Auf diesen Beitrag antworten »
@frank09 vielen dank..das mit der projektion war mir nicht klar..danke für deine hilfe
31.03.2010, 18:27	erwuenschte	Auf diesen Beitrag antworten »
hey was habt ihr gerechnet um lambda zu bekommen. Habe diese aufgabe für die ferien bekommen und komme einfach nicht weiter

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