Cantor-Menge: Summe zweier Elemente

29.08.2009, 17:46

ge88

Cantor-Menge: Summe zweier Elemente

Beweisen Sie, dass jedes Element des Intervalls [0,2] als Summe zweier Elemente aus der Cantor-Menge geschrieben werden kann.

Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} x \mapsto 1 - x \end{eqnarray*}$ eine Bijektion von C auf sich ist - koennte ich es damit beweisen?
Oder vielleicht die Funktion $\begin{eqnarray*} f : C \times C \to \mathbb R, \ (x,y) \mapsto x+y \end{eqnarray*}$ betrachten und irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left[ 0,2 \right] \subseteq f( C \times C) \end{eqnarray*}$ gilt?
Danke!

30.08.2009, 11:10

Abakus

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RE: Cantor-Menge: Summe zweier Elemente
Eine Idee könnte die Benutzung der Darstellung im 3er-System sein, da müsstest du dich mal "eingraben".

Grüße Abakus smile

30.08.2009, 17:23

ge88

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RE: Cantor-Menge: Summe zweier Elemente
Genau davor hatte ich Angst.

Sei also $\begin{eqnarray*} z \in \left[ 0,2 \right] \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} z = \sum_{k=1}^{\infty} z_k 3^{-k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_k \in \{0,1,2 \} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt muss ich folgendes zeigen:
$\begin{eqnarray*} \exists \ c_1, c_2 \in C \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} z = c_1 + c_2 = \sum_{k=1}^{\infty} a_k 3^{-k} + \sum_{k=1}^{\infty} b_k 3^{-k} = \sum_{k=1}^{\infty} (a_k + b_k) 3^{-k} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_k, b_k \in \{0,2 \} \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit?

Oder:

Sei $\begin{eqnarray*} z \in \left[ 0,2 \right] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} z = x + y \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} x,y \in \left[ 0,1 \right] \end{eqnarray*}$ .
Ich nehme an, dass es gilt $\begin{eqnarray*} x,y \notin C \end{eqnarray*}$ , (d.h. fuer $\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k 3^{-k} \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} k_* \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_{k_*} = 1 \end{eqnarray*}$ ) und fuehre das zum Widerspruch. Koennte das funktionieren?

31.08.2009, 11:51

ge88

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RE: Cantor-Menge: Summe zweier Elemente
Koennte mir jemand sagen, wie es weiter geht? Ich komme irgendwie nicht voran..
Und noch eine Idee: vielleicht mit der Cantor-Funktion argumentieren?
Danke!

31.08.2009, 12:01

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Tipp: Betrachte nicht die 3er-Darstellungen von $\begin{eqnarray*} z,c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ , sondern die von $\begin{eqnarray*} \frac{z}{2},\frac{c_1}{2},\frac{c_2}{2} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

31.08.2009, 16:49

ge88

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Sei $\begin{eqnarray*} z \in \left[ 0,2 \right] \end{eqnarray*}$ . Fuer $\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} \end{eqnarray*}$ gilt:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} \in C \end{eqnarray*}$ - hier ist alles klar.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} \in \left[ 0,1 \right] \setminus C \end{eqnarray*}$ . Es existieren $\begin{eqnarray*} c_1, c_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} = \frac{c_1}{2} + \frac{c_2}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h.
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z_k}{2} \cdot 3^{-k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{2} \cdot 3^{-k} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{2} \cdot 3^{-k} \end{eqnarray*}$ .
Angenommen, $\begin{eqnarray*} \frac{c_1}{2}, \frac{c_2}{2} \notin C \end{eqnarray*}$ . Dann existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (k_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k_n}}{2} = \frac{b_{k_n}}{2} = 1 \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} z = 2 \left( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{2} \cdot 3^{-k} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{2} \cdot 3^{-k} \right) \end{eqnarray*}$ und damit gilt $\begin{eqnarray*} a_k, b_k \neq 1 \end{eqnarray*}$
Ah ne, die Aufgabe ist so ein Monster, aber ich will nicht aufgeben! Bitte, hilf mir noch ein bisschen.

31.08.2009, 17:05

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Mein Tipp war ein Wink mit dem Zaunpfahl, jetzt soll ich den Zaun auch noch aufstellen? Na bitte:

Es gibt die 3er-Darstellung

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} = \sum_{k=1}^{\infty} y_k 3^{-k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_k \in\{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist

$\begin{eqnarray*} \frac{c_1}{2} + \frac{c_2}{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{a_k}{2} + \frac{b_k}{2} \right) 3^{-k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{2},\frac{b_k}{2} \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun $\begin{eqnarray*} a_k,b_k \end{eqnarray*}$ gerade so wählt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{2} + \frac{b_k}{2} = y_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt die Gleichheit $\begin{eqnarray*} z = c_1+c_2 \end{eqnarray*}$ . Und eine solche Wahl ist offensichtlich möglich:

$\begin{eqnarray*} a_k=0,b_k=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y_k=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=2,b_k=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y_k=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_k=2,b_k=2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y_k=2 \end{eqnarray*}$

ferig!

31.08.2009, 17:34

ge88

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Mein Tipp war ein Wink mit dem Zaunpfahl, jetzt soll ich den Zaun auch noch aufstellen?

Ich weiss nicht was ich sagen soll. Es tut mir leid, dass ich so daemlich war (das macht keinen Spass)... und danke

edit:
Warum hast du mir die Loesung gegeben? Bin jetzt bedrueckt, dass ich es nicht geschafft habe.

01.09.2009, 12:15

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Zitat:

Original von ge88
Warum hast du mir die Loesung gegeben? Bin jetzt bedrueckt, dass ich es nicht geschafft habe.

Ich hab leider nicht das pädagogische Geschick, Lösungen, die man bereits in einem Schritt (zumindest nach meinem Tipp oben) erreicht, noch weiter aufzusplitten...

01.09.2009, 15:25

ge88

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Verstehe. Jetzt finde ich deine Reaktion nicht mehr so herzlos.
Danke fuer die Antwort.

24.10.2010, 15:55

Fillipo

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Ich bin mit dem gleichen Problem konfrontiert. Ich verstehe jedoch nicht ganz für was das yk steht? Ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber ich wäre trotzdem froh, um eine Antwort.
Gruss

24.10.2010, 16:05

Fillipo

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Ich bin mir eben nicht sicher, aber ich vermute es ist ein triadischer Bruch und Element con C. Wäre froh, wenn das jemand bestätigen könnte.

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Cantor-Menge: Summe zweier Elemente

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