konvergenz von reihe

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29.08.2009, 18:23	paddy2	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenz von reihe hallo alle zusammen, also ich sitze da gerade an folgender reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}} \end{eqnarray}$ so mein ansatz war jetzt, dass für große n folgendes gilt $\begin{eqnarray} \frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}}\Rightarrow \frac{n}{n^{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ die harmonische reihe ist und die divergiert ja für n gegen unendlich also ist die reihe meines erachtes divergent, aber in der musterlösung steht nun dass die reihe konvergent ist, was ist jetzt richtig ??
29.08.2009, 18:25	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
kennst du das Leibnitz-Kriterium?? konvergent ist richtig... mfg
29.08.2009, 18:30	Cyrous	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ist meiner Meinung nach konvergent, da du, wenn du eine unendlich große Zahl für n einsetzt, gegen Null konvergierst.
29.08.2009, 18:47	paddy2	Auf diesen Beitrag antworten »
okkay, das leibnizkriterium kenne ich , dazu muss ich ja erstmal nach $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ auflösen und dann zeigen dass a(n) eine nullfolge ist, also $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}} = \sum_{n=1}^\infty~ (-1)^{n} \frac{\frac{n}{(-1)^{n}} +1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ und jetzt zeigen dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{(-1)^{n}} +1}{n^{2}} = 0 \end{eqnarray*}$ unde dass strebt gegen null gegen unendlich, folglich ist es eine nullfolge , und deshalb ist die reihe konvergent, richtig ??
29.08.2009, 18:51	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
sieht gut aus... Aber hierbei ist mir auch eine Frage aufgefallen. $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{k=1}^n~\frac{n+(-1)^n}{n^2} <br /> = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n^2} <br /> = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n} + \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^n}{n^2}<br /> \end{eqnarray}$ Für eine endlcihe Summe ist dieses ja richtig. Aber bei dieser Aufgabe, wäre es bei einer unendlcihen Summe ja falsch? müsste ja sons würde die Reihe divergieren. mfg.
29.08.2009, 18:57	paddy2	Auf diesen Beitrag antworten »
jap eben, echt seltsame aufgabe, ich habe dass auch mal so aufgelöst und bin auf keinen sinnvollen zusammenhang gekommen, weil summe aus 1/n für n gegen unendlich ja die harmonische reihe darstellt und folglich divergent ist , naja was solls , danke dir
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29.08.2009, 20:23	Globi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende mal das Verdichtungskriterium an der Reihe an. für das Leibnizkriterium muss die folge a_n nicht nur eine Nullfolge sein sondern auch noch monoton fallen, $\begin{eqnarray} a_n = \frac{\frac{n}{(-1)^{n}}+1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ ist allerdings nicht monoton
29.08.2009, 20:58	paddy2	Auf diesen Beitrag antworten »
mh scheiße, und wie muss ich dann vorgehen ??
29.08.2009, 21:45	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
zeige, dass $\begin{eqnarray} \sum \limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{n-1}{n^2} \end{eqnarray}$ eine minorante ist. dann zeige, dass diese divergiert. und dann divergiert automatisch deine reihe. edit alternativ: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n\in \mathbb{N}}{\frac{n+{(-1)}^n}{n^2}}=\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\left\|{\frac{n+{(-1)}^n}{n^2}}\right\| \end{eqnarray}$ => du kannst die summe bel. umsortieren, und vor allem in 2 geeignete partialsummen mit bekannten grenzwerten aufteilen.

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