Normalenform

22.09.2006, 21:21

sqrt4

Normalenform

ah ich versteh die Welt nicht mehr...

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}= \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

g liege in E und h in F (E,F sind Ebenen)
E und F haben denselben Abstand wie g und h

Man finde Normalenformen von E und F.

Mein Anatz.

Also 1. Die Ebenen sind eindeutig bestimmt.
Denn die Ebenen könnten zwar um die jeweiligen Geraden rotieren, aber dann hätten sie nicht denselben Abstand wie die Geraden.

2.Ich habe mit dem Skalarprodukt den Vektor berechnet, den man normalerweise braucht um den Abstand zu berechnen. Dieser Vektor ist
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{7} \cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist doch genau der Vektor der auf den gesuchten Ebenen senkrecht steht oder ??
Aber das kann nicht stimmen

Bitte findet den Fehler

22.09.2006, 21:25

sqrt4

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Denn damit würde ja dann folgen,

$\begin{eqnarray*} E: 4x_1+x_2-2x_3=0 \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} F: 4x_1+x_2-2x_3+d =0 \end{eqnarray*}$

Um d herauszufinden könnte man dann die Gerade h in F einsetzen und feststellen, dass d=-12

Das kann aber nicht sein, da der Abstand der Geraden kleiner als

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3^2+2^2+1^1} \end{eqnarray*}$ sein muss

22.09.2006, 22:07

Bjoern1982

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Hallo

Zitat:

Ich habe mit dem Skalarprodukt den Vektor berechnet, den man normalerweise braucht um den Abstand zu berechnen.

Verwechselst du das vielleicht mit der Formel für den Abstand windschiefer Geraden?

Ich kann deinen Gedankengang leider nicht ganz nachvollziehen verwirrt

Meiner Meinung nach erhälst du einfach durch das Kreuzprodukt aus einem Richtungsvektor der Geraden und einem Verbindungsvektor dieser Geraden einen zu diesen Vektoren senkrechten Vektor, welcher gleichzeitig als zweiter Spannvektor der Ebene E bzw F betrachtet werden kann.

Dadurch hast du dann 2 Spannvektoren, deren Kreuzprodukt wiederum einen Normalenvektor der zueinander parallelen Ebenen E und F liefern sollte.

Gruß Björn

22.09.2006, 23:04

sqrt4

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Ich habe deine Idee ausgeführt und komme wieder auf den bereits genannten Vektor.

Das heißt, dass meine Ebenengleichung von E stimmt.

Die Frage ist, um wieviel die Ebene F verschoben ist.
Hier ist mein Problem.
Ich setzte einmal an wie bereits gezeigt (2.Beitrag_h in F)
und komme auf d=-12

Aber das kann nicht sein

22.09.2006, 23:21

riwe

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ich denke, dass dein normalenvektor richtig ist.
"mein weg" dorthin ist halt der eines phantasielosen, also so wie immer. zu g (und h) senkrechte ebene durch O, schnittpunkt mit h bestimmen, und schon hast deinen normalenvektor
(mit $\begin{eqnarray*} d(g,h)=4\sqrt{\frac{3}{7}} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix}4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
damit hast du deine 2 ebenen
E: 4x + y - 2z = 0
und
F: 4x +y - 2z - 12 = 0
mit $\begin{eqnarray*} d(E,F)=4\sqrt{\frac{3}{7}} \end{eqnarray*}$
wie gewünscht
werner

22.09.2006, 23:27

Bjoern1982

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Also wenn d die Zahl auf der rechten Seite der Koordinatengleichung von F sein soll, so erhält man durch Einsetzen des Punktes (3/2/1) der Geraden h als Ergebnis +12.

Der Abstand a der Ebenen beträgt dann:

$\begin{eqnarray*} a=|\frac{-12}{\sqrt{21}}|= \frac{12}{\sqrt{21}} \end{eqnarray*}$

was derselbe Abstand ist wie der der Geraden g und h...

Ob das deine Frage beantwortet...

Gruß Björn

23.09.2006, 08:26

sqrt4

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aber ich dachte immer dass der Abstand zweier Ebenen durch das d (hier -12) bestimmt würde.

Also wenn ich mit dem Skalarprodukt den Abstand der beiden Geraden berechne komme ich auch auf den WErt
$\begin{eqnarray*} \frac{12}{\sqrt{21}}=4\sqrt{\frac{3}{7}} \end{eqnarray*}$

Aber könnt ihr mir erklären warum der Abstand der Ebenen nicht 12 ist

Danke

23.09.2006, 08:41

sqrt4

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Ich glaub ich habs kapiert.

Bei den Ebenen $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 +5=0 \end{eqnarray*}$ haben die Ebenen tatsächlich den Abstand 5 aber
in meinem Bsp. heißt es ja

$\begin{eqnarray*} E : 4x_1+x_2-2x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F : 4x_1+x_2-2x_3 + d=0 \end{eqnarray*}$
Da "verteilt sich das d sozusagen auf die drei Koordinaten"

23.09.2006, 10:22

riwe

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immer wenn du "mißt", mußt du normieren, also den normaleEINHEITSvektor verwenden, hier also die normierung
$\begin{eqnarray*} \sqrt{16+1+4} \end{eqnarray*}$ verwenden,
also dein "verteilen" durchführen, korrekt Freude

werner

(auch bei $\begin{eqnarray*} x_1 =- 5 \end{eqnarray*}$ normierst du, mir der kleinen gefälligkeit, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$ ist)

23.09.2006, 12:29

sqrt4

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aha ja also wir haben das zwar noch nicht durchgenommen habs aber verstanden.
Vielen Dank Freude

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