Was wird hier bewiesen? - Integralfunktion

30.08.2009, 13:41

sallal

Was wird hier bewiesen? - Integralfunktion

Hi,

hoffe hier kann mir geholfen werden ... Es geht um eine Aufgabe, in der man einen bestimmten Beweis erbringen bzw. herleiten soll.
Lösungsansatz versucht doch nicht wirklich weitergekommen.

Die Aufgabe sowie mein Lösungsansatz seht ihr im Anhang. Nun zur Aufgabe : meine Behauptung ist , dass wenn man durch h teilt die Höhe(n) herausbekommt bzw. die y-Werte mit denen man multiplizieren muss. Das wäre bei dem mittleren $\begin{eqnarray*} \frac{I0 \left(x+h\right) - I0\left(x\right)}{h} \end{eqnarray*}$ rausgekommen für die Höhe(n)...

Wenn man das dann, wie schon gesagt in der Aufgabe, Grenzübergang h -> 0 laufen lässt, dann löst sich das eigentlich garnicht ?! geschockt

Das heisst, der Taschenrechner zeigt genau das selbe wie oben an : $\begin{eqnarray*} \frac{I0 \left(x+h\right) - I0\left(x\right)}{h} \end{eqnarray*}$

Was sagt ihr dazu ?

MFG
Sallal

30.08.2009, 15:33

Draos

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$\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ stellt die Fläche da unter der Fukntion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ da.

Überleg mal woher du die Gleichung mit
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{I_0 \left(x+h\right) - I_0\left(x\right)}{h}<br /> \end{eqnarray*}$ schon kennst.

Vergess aber bitte nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

30.08.2009, 16:22

sallal

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Zitat:

Original von Draos
$\begin{eqnarray*} I_0 \end{eqnarray*}$ stellt die Fläche da unter der Fukntion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ da.

Überleg mal woher du die Gleichung mit
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{I_0 \left(x+h\right) - I_0\left(x\right)}{h}<br /> \end{eqnarray*}$ schon kennst.

Vergess aber bitte nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

Ja ich glaub ich weiss es !

Wir haben die Tangente kennengelernt, indem wir die 2 punkte der sekante immer weiter hinzulaufen lassen haben ... dann erhielten wir die Tangente, welche die Ableitung and dem bestimmten punkt wiederspiegelt...

Demnach sind die Höhe(n) gleich die Tangente (=Ableitung) ! ... Aber .. eigentlich ist das Integral doch die Stammfunktion und nicht die Ableitung ?! verwirrt

30.08.2009, 17:03

sallal

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ich versuchs nochmal ... habe irgendwie total den faden verloren ...

Also : Wenn man den integrierten Teil durch h teilt, dann bleiben sozusagen "die Höhen" mit den man um zu integrieren multiplizieren muss übrig...

und wenn man dann h gegen 0 laufen lässt (wie man das bei Sekanten auch macht um die tangente zu erhalten) dann könnte man ja sagen , dass die Höhen , also das integrierte durch h, gleich die sekanten sind ...

bin ich auf dem richtigen dampfer ? .. naja eigentlich schon .. nur ich finde mein zimmer nicht...

EDIT: wenn man das so betrachtet sind doch integrale gleich sekanten von P1 zu P2 mal Strecke P1 zu P2

31.08.2009, 12:55

Draos

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Überleg mal. Die Integralfunktion ist die aufgeleitete Funktion. Den Grenzwertterm kennste doch sicherlich als Differentialquotienten als 1. Ableitung.

Nun 1 und 1 zusammenzählen.

31.08.2009, 13:50

Kopfrechner

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Hallo sallal, du hast in deinen Notizen so schön stehen:

$\begin{eqnarray*} f_{min} \leq \frac{I_0 \left(x+h\right) - I_0\left(x\right)}{h} \leq f_{max} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ bildest, dann hast du
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}f_{min} \leq \lim_{h \to 0}\frac{I_0 \left(x+h\right) - I_0\left(x\right)}{h} \leq \lim_{h \to 0}f_{max} \end{eqnarray*}$

Links und rechts ergibt sich dann f(x), also

$\begin{eqnarray*} f(x) \leq \lim_{h \to 0}\frac{I_0 \left(x+h\right) - I_0\left(x\right)}{h} \leq f(x) \end{eqnarray*}$

Also existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{I_0 \left(x+h\right) - I_0\left(x\right)}{h} \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} I_0(x) \end{eqnarray*}$ für h->0!

Jetzt musst du überlegen, was die Existenz eines solchen Grenzwerts für eine Funktion $\begin{eqnarray*} I_0(x) \end{eqnarray*}$ bedeutet! Du hast ja selbst schon so schön formuliert:
> Wir haben die Tangente kennengelernt, indem wir die 2 punkte der sekante immer weiter hinzulaufen lassen haben ... dann erhielten wir die Tangente, welche die Ableitung and dem bestimmten punkt wiederspiegelt...

Gruß, Kopfrechner

31.08.2009, 15:47

sallal

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Zitat:

Original von Kopfrechner
Hallo sallal, du hast in deinen Notizen so schön stehen:

Danke !

Erstmal hallo und danke für die Posts,

Ich glaube ich habs:
Wenn es dann heisst
$\begin{eqnarray*} f(x) \leq \lim_{h \to 0}\frac{I_0 \left(x+h\right) - I_0\left(x\right)}{h} \leq f(x) \end{eqnarray*}$
dann müsste die zweite zeile heissen
$\begin{eqnarray*} f(x) \leq I'(x) \leq f(x) \end{eqnarray*}$ weil das die ableitung ist ...
und deshalb kann es ja nur sein das $\begin{eqnarray*} I'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

Danke Freude

Viele Grüße noch Wink

Sallal

EDIT: mein dummen fehler seh ich auch jetzt ... ich habe übersehen auch $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}f_{min} \end{eqnarray*}$ zu nehmen und nur mit dem mittleren weitergemacht ...
Edit : bzw auch $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}f_{max} \end{eqnarray*}$

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