komplexe menge

30.08.2009, 16:47

paddy2

komplexe menge

hallo allle zusammen, folgende komplexe menge ist vorgegeben :

$\begin{eqnarray*} | z +4i | * | z -4 | \leq 0 \end{eqnarray*}$

muss ich hier eine fallunterscheidung machen, oder kann ich es einfach ausrechnen indem ich es so umschreibe und nach a und b jeweils auflöse

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2} + (b+4)^{2}} * \sqrt{b^{2} + (a-4)^{2}}\leq 0 \end{eqnarray*}$
mit z = a +ib

30.08.2009, 17:43

WebFritzi

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RE: komplexe menge

Zitat:

Original von paddy2
hallo allle zusammen, folgende komplexe menge ist vorgegeben :

$\begin{eqnarray*} | z +4i | * | z -4 | \leq 0 \end{eqnarray*}$

Das ist keine Menge, sondern eine Ungleichung. Du meinst wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C : |z +4i| * | z -4 | \leq 0\}. \end{eqnarray*}$

Und da Beträge stets nichtnegativ sind, ist diese Menge die gleiche wie

$\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C : |z +4i| * | z -4 | = 0\}. \end{eqnarray*}$

30.08.2009, 17:53

paddy2

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RE: komplexe menge
achso okkay, muss ich dann eine fall unterscheidung machen ??

stehe gerade etwas auf den schlauch

30.08.2009, 18:24

WebFritzi

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Es gibt da so eine Art Fallunterscheidung (welche zusammengeschrieben wird), ja.

30.08.2009, 22:13

paddy2

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mhh also ich habe dass mal für dne ersten fall durchgespielt aber hänge irgendwie beim auflösen , also

$\begin{eqnarray*} | z +4i | \geq 0 \Rightarrow | z+4i | = z+4i \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z\geq -4i \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} | z-4 | \geq 0 \Rightarrow | z-4 | = z-4 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z\geq 4 \end{eqnarray*}$

mir ist klar, dass nur bei den beiden punkten (4,0) und (0,-4i) die gleichung gleich null ist , aber wenn ich das mathematisch beweisen will, indem ich die funktion
$\begin{eqnarray*} ( z +4i ) * ( z -4 ) = 0 \end{eqnarray*}$ nach z auflöse komme ich auf überhaupt kein ergebnis mit der quadratischen ergänzung. im verlaufe der rechung komme ich an dem punkt an, bei dem ich die wurzel aus 8i ziehen muss und ich kann mir nicht vorstellen, dass das richtig ist, vlt jemand nen ansatz wie ich die schnittpunkte mathematisch herleiten kann ??

30.08.2009, 22:50

WebFritzi

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RE: komplexe menge
Entschuldigung, aber du machst alles falsch, was man nur falsch machen kann. Zudem solltest du

Zitat:

Original von WebFritzi
Und da Beträge stets nichtnegativ sind, ist diese Menge die gleiche wie

$\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C : |z +4i| * | z -4 | = 0\}. \end{eqnarray*}$

schon mal beherzigen.

30.08.2009, 23:04

paddy2

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RE: komplexe menge
ach man, dass ist echt nicht mein thema, okkay , also

$\begin{eqnarray*} | z +4i | = 0 \Rightarrow | z+4i | = z+4i = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = -4i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | z-4 | = 0 \Rightarrow | z-4 | = z-4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 4 \end{eqnarray*}$

und die anderen fälle könnte ich mir doch theoretisch sparen , weil nur diese beiden lösungen möglich sein können

richtig ??

30.08.2009, 23:27

WebFritzi

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RE: komplexe menge
Ja. Aus welchen komplexen Zahlen besteht also die angegebene Menge?

30.08.2009, 23:34

paddy2

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RE: komplexe menge
$\begin{eqnarray*} z =0 -4i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = 4 + 0i \end{eqnarray*}$

30.08.2009, 23:58

WebFritzi

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Ja. Schreib doch die Menge einfach mal auf.

EDIT: Die Nullen kannst du weglassen. Also z = -4i und z = 4.

31.08.2009, 07:39

jester.

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RE: komplexe menge

Zitat:

Original von paddy2
$\begin{eqnarray*} | z +4i | = 0 \Rightarrow | z+4i | = z+4i = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | z-4 | = 0 \Rightarrow | z-4 | = z-4 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z+4i| \neq z+4i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |z-4|\neq z-4 \end{eqnarray*}$

Aber die Aufgabe ist natürlich trotzdem richtig gelöst. Aufschreiben kannst du die Menge jetzt explizit, indem du die Elemente, deren Zugehörigkeit zur Menge du festgestellt hast, in Mengenklammen auflistest.

31.08.2009, 13:23

WebFritzi

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RE: komplexe menge

Zitat:

Original von jester.

Zitat:

Original von paddy2
$\begin{eqnarray*} | z +4i | = 0 \Rightarrow | z+4i | = z+4i = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | z-4 | = 0 \Rightarrow | z-4 | = z-4 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z+4i| \neq z+4i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |z-4|\neq z-4 \end{eqnarray*}$

Doch, das war schon ganz richtig von paddy2.

31.08.2009, 15:11

jester.

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Ach so, klar. Unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} |z+4i|=0,~|z-4|=0 \end{eqnarray*}$ gilt das natürlich. Hammer

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