Integral

30.08.2009, 17:23

oerny

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Integral

Hi, ich habe folgendes Integral, komm aber auf keine Lösung

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n+2}+(tan(x))^n~dx = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n}[(tan(x))^2+1]~dx \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} (tan(x))^2+1 = tan'(x) \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n}tan'(x)~dx \end{eqnarray*}$

jetzt dachte ich an partielle Integration, komme aber nicht weiter traurig

traurig

30.08.2009, 17:36

Ungewiss

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Warum sollte part. Integration angezeigt sein? Benutz lieber mal ein anderes Verfahren, vielleicht eines welches mit S anfängt...

31.08.2009, 08:48

klarsoweit

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RE: Integral

Zitat:

Original von oerny
jetzt dachte ich an partielle Integration, komme aber nicht weiter traurig

traurig

Wo ist das Problem? Du hast doch genau die erforderliche Form $\begin{eqnarray*} \int~u(x) \cdot v'(x)~dx \end{eqnarray*}$ für die partielle Integration da stehen.

31.08.2009, 14:17

oerny

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Hi,

also zur Substitution:
ich ersetze $\begin{eqnarray*} u:=tan(x) \end{eqnarray*}$
dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = \frac{1}{1+u^2} \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u^{n} \cdot u' \cdot \frac{1}{1+u^2}~du \end{eqnarray*}$
ist irgendwie nicht einfacher, oder habe ich jetzt einen fehler gemacht den ich gerade nicht sehe?

zur partiellen:
Aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n}tan'(x)~dx \end{eqnarray*}$
komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \left[(tan(x))^n \cdot tan(x) \right]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x)) \cdot ((tan(x))^n)' ~dx \end{eqnarray*}$

wie differenziere ich aber $\begin{eqnarray*} tan(x)^n \end{eqnarray*}$

glaube steh gerade echt auf dem Schlauch! Hammer

Hammer

31.08.2009, 16:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von oerny
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u^{n} \cdot u' \cdot \frac{1}{1+u^2}~du \end{eqnarray*}$
ist irgendwie nicht einfacher, oder habe ich jetzt einen fehler gemacht den ich gerade nicht sehe?

Du hättest besser statt u' den Ausdruck 1 + u² schreiben sollen.

Zitat:

Original von oerny
wie differenziere ich aber $\begin{eqnarray*} tan(x)^n \end{eqnarray*}$

Mit der Kettenregel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2009, 17:19

oerny

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Zitat:

Original von klarsoweit
Du hättest besser statt u' den Ausdruck 1 + u² schreiben sollen.

da hast wohl recht, dann ist das mit Substitution wohl geklärt. Finger1

Finger1

Zitat:

Original von klarsoweit
Mit der Kettenregel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

dann hätte ich doch:
$\begin{eqnarray*} (tan(x))^{n-1}\cdot n \cdot tan(x)' \end{eqnarray*}$
was mir auch nicht weiterhilft...

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31.08.2009, 17:48

klarsoweit

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Natürlich hilft das. Schreibe mal das ganze ordentlich zusammen und ersetze die Ableitung von tan(x) mit 1 + tan²(x).

01.09.2009, 14:49

oerny

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Alles klar, dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n}tan'(x)~dx = \left[(tan(x))^n \cdot tan(x) \right]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x)) \cdot (tan(x))^{n-1}\cdot n \cdot (1+tan(x)^2) ~dx \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n}tan'(x)~dx = \left[(tan(x))^n \cdot tan(x) \right]_{0}^{\pi/4} \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n}tan'(x)~dx = \frac{\left[(tan(x))^{n+1} \right]_{0}^{\pi/4}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

naja sehr unübersichtlich ABER das Gleiche kommt auch
bei der Substitution raus, und hoffentlich damit stimmt!

Danke für die Hilfe!

13.09.2009, 14:50

oerny

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Zitat:

Original von oerny
Hi,

also zur Substitution:
ich ersetze $\begin{eqnarray*} u:=tan(x) \end{eqnarray*}$
dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = \frac{1}{1+u^2} \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u^{n} \cdot u' \cdot \frac{1}{1+u^2}~du \end{eqnarray*}$
ist irgendwie nicht einfacher, oder habe ich jetzt einen fehler gemacht den ich gerade nicht sehe?

Mir fällt gerade auf, das hier was nicht stimmen kann, ich müsste doch folgendes haben:
ich ersetze $\begin{eqnarray*} u:=tan(x) \end{eqnarray*}$
dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = \frac{1}{tan(x)^2+1} \rightarrow dx = \frac{du}{tan(x)^2+1} \end{eqnarray*}$
und damit würde sich das ganze nicht kürzen. Wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u^{n} \cdot (u^2+1) \cdot \frac{1}{tan(x)^2+1}~du \end{eqnarray*}$
und mach ich irgendwoe gerade ein Denkfehler?

oder dürfte ich einfach den zweiten faktor, nicht ersetzen also: $\begin{eqnarray*} tan(x)^2+1 \nrightarrow u^2+1 \end{eqnarray*}$

13.09.2009, 14:54

IfindU

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$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = (tan(x))' \end{eqnarray*}$

Einsetzen, die Ableitung vom tan(x) kürzen, u^n einfach integrieren, fertig.

13.09.2009, 14:58

oerny

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naja wenn ich tan(x) ersetze, dann ersetze ich das doch auch bei tan(x)' und damit kann ich dann nichtmehr kürzen. Oder drück ich mich evtl. falsch aus?

13.09.2009, 15:02

IfindU

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Wenn du für tan(x)' die richtige Ableitung einsetzt (und zwar für beide) kürzen sie sich eben dann weg Oder du kürzt direkt den Ausdruck tan(x)' -setzt für tan(x)^n =: u^n und integrierst.

Edit: Was soll bei dir dx/du eigentlich sein? Hab bei der Ableitung vom arctan(x) geguckt und da sieht dei auch anders aus.

13.09.2009, 15:49

oerny

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naja ich habe die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~(tan(x))^{n}[(tan(x))^2+1]~dx \end{eqnarray*}$
Hier substituiere ich
$\begin{eqnarray*} tan(x)=u \end{eqnarray*}$
dann hab ich doch:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/4}~u^{n}(u^2+1) \cdot \frac{1}{tan'(x)} ~du \end{eqnarray*}$
und wo kann ich da jetzt kürzen?

ich kann doch wenn ich substituiere sagen:
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = u' \rightarrow dx=\frac{du}{u'} \end{eqnarray*}$ und diesen Ausdruck für dx einsetzen.

13.09.2009, 15:56

IfindU

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Nach deinem ersten Post lautet die Aufgabe (ohne Grenzen):
$\begin{eqnarray*} \int~\tan^n(x) \cdot \tan(x)'~dx \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution von $\begin{eqnarray*} u:=\tan(x) \text{ und } \frac{du}{dx} = \tan(x)' \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} \int~u^n \cdot \tan(x)' \frac{du}{\tan(x)'} \end{eqnarray*}$

13.09.2009, 16:04

oerny

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Zitat:

Original von IfindU
Nach deinem ersten Post lautet die Aufgabe (ohne Grenzen):
$\begin{eqnarray*} \int~\tan^n(x) \cdot \tan(x)'~dx \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution von $\begin{eqnarray*} u:=\tan(x) \text{ und } \frac{du}{dx} = \tan(x)' \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} \int~u^n \cdot \tan(x)' \frac{du}{\tan(x)'} \end{eqnarray*}$

naja eigentllich war im ersten post die aufgabe genau so, wie ich sie oben geschrieben habe(kopiert).

jetzt nochmal zu meiner Frage, glaube wir hatten uns anfangs missverstanden.
wenn ich die Substitution durchführe, ersteze ich $\begin{eqnarray*} tan(x) = \text{ jedoch nicht } tan(x)'=u' \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber nicht erkennen sollte, dass $\begin{eqnarray*} tan(x)^2+1 = tan(x)' \end{eqnarray*}$ ersetze ich dann hier $\begin{eqnarray*} tan(x)^2+1 = u^2+1 \end{eqnarray*}$ ?

Mein Problem ist also, wenn ich Substituiere $\begin{eqnarray*} u:=tan(x) \end{eqnarray*}$ ersetze ich doch eigentlich jeden Tangens durch u, was ich hier nicht mache.

13.09.2009, 16:17

IfindU

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Doch, aber dann musst du für tan'(x) was durch substituieren kommt [beim du/dx] $\begin{eqnarray*} 1+tan(x)^2 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Das hast du auch richtig gemacht, bloss ist tan(x) immernoch gleich u, also setzt du für das tan(x)^2 wieder u^2 ein.

13.09.2009, 16:20

oerny

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alles klar, danke!

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