Potenzreihenentwicklung

30.08.2009, 20:34

steffi24

Potenzreihenentwicklung

Hi Leute,

ich soll zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{z}{exp(z)-1} \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von z=0 in eine Potenzreihe entwickelbar ist.
Ich habe wie folgt angefangen
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{z}{\sum_{n=o}^{\infty}\frac{z^k}{k!}-1}=\frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{n!}} \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz überhaupt zielführend und wie muss ich weiter machen?

31.08.2009, 11:25

steffi24

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RE: Potenzreihenentwicklung
Ich hätte eine neue Idee, kann ich vielleicht mit der geometrischen Reihe arbeiten?

$\begin{eqnarray*} f(z)=-\frac{z}{1-e^z}=-z\sum_{n=0}^{\infty}(e^z)^n= -z \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!})^n \end{eqnarray*}$

Darf ich das so machen, wenn ja warum? Kann mir vielleicht jetzt jemand weiter helfen.

Dankeschön schonmal

31.08.2009, 12:23

Romaxx

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Hallo steffi24,

deine Idee im letzten Post sieht schon recht vielversprechend aus.

Nur musst du noch angeben, für welche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ du diese Umformung zur geometrischen Reihe machen darfst, da die nur für $\begin{eqnarray*} |e^z|<1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zudem musst du beim Ersetzten von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ durch seine Potenzreihe auf den Laufindex aufpassen. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kommt schon einmal vor.

Darüberhinaus würde ich aus $\begin{eqnarray*} (e^z)^n=e^{z\cdot n} \end{eqnarray*}$ machen.

Das ergibt eine schönere Reihendarstellung.

Gruß

31.08.2009, 14:05

steffi24

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Ersteinmal für welche z die Reihe konvergiert:

$\begin{eqnarray*} |e^z|<1 \end{eqnarray*}$ , dann sind meine Überlegungen folgende

$\begin{eqnarray*} |e^z|=|e^{x+iy}|=|e^xcosy+ie^xsiny|=e^{2x}(cos^2y+sin^2y)=e^{2x}<1 \end{eqnarray*}$ daraus folgt x<0, das heißt die Reihe konvergiert für z=x+iy mit x<0 und y beliebig aus R.

Stimmt das soweit?

31.08.2009, 14:38

Romaxx

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Für komplexe Zahlen in der Polarform $\begin{eqnarray*} e^{a+b\cdot i} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |e^{a+b\cdot i}|=e^a \end{eqnarray*}$

Deine Rechnung stimmt nicht ganz, da du vergessen hast, die Wurzel zu ziehen.

Zitat:

daraus folgt x<0, das heißt die Reihe konvergiert für z=x+iy mit x<0 und y beliebig aus R. Stimmt das soweit?

Trotz dieses kleinen Fehlers, stimmt das soweit.

31.08.2009, 14:47

steffi24

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Ok, dann erhalte ich also für diese z folgende Summendarstellung

$\begin{eqnarray*} f(z)=-z\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(nz)^k}{k!}) \end{eqnarray*}$ . Wie kann ich nun die Doppelsumme auflösen?

01.09.2009, 17:29

Romaxx

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Hier weiß ich leider auch nicht mehr weiter.

Informiere Dich einmal über die Bernoulliezahlen.

Diese Funktion hängt nämlich damit zusammen.

Gruß

01.09.2009, 17:39

steffi24

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Dass mit Bernoulli, super Tipp, hab ganz rechtherzlichen Dank! smile

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