erstellung einer reproduzierende Populationsmatrix

31.08.2009, 16:32

boro

erstellung einer reproduzierende Populationsmatrix

Hallo,
ich habe 2 Fragen zu diesem Thema zum einem wie erstelle ich die die reproduzierende Populationsmatrix
und wie kann ich z.B. eine Rechnung mit P^10 abkürzen?

Danke fürs Lesen.
Aufgabe ist folgende:
>Aufgabe hier<

31.08.2009, 20:38

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: erstellung einer reproduzierende Populationsmatrix

Zitat:

Original von boro
. . . wie erstelle ich die die reproduzierende Populationsmatrix?

Zuerst einmal die graphische Darstellung des Lebenszyklus angeben und daraus dann die Populationsmatrix ableiten, also

Eine junge Libelle legt 90 Eier, ...

$\begin{eqnarray*} (A) \overset{90}{\longrightarrow} (C) \end{eqnarray*}$

(A) und (C) sind die Zustände und 90 der Zustandsübergang.

... legen als alte Libellen immerhin noch 40 Eier ...

$\begin{eqnarray*} (B) \overset{40}{\longrightarrow} (C) \end{eqnarray*}$

Für die Populationsmatrix bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} C' = 90A + 40B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von boro
. . . wie kann ich z.B. eine Rechnung mit P^10 abkürzen?

Populationsmatrizen sind i. a. zyklische Matrizen, die wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & e \\ a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ berechnest, kannst du wie folgt vorgehen:

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & e \\ a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & e \\ a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & de & 0 \\ * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die erste Zeile von A und die 4. Spalte von A gibt de in der 1. Zeile/4. Spalte.
Wie man sieht rücken in $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ alle Einträge eine Position nach links.

Wenn du jetzt die erste Spalte der Matrix A hinter die letzte Spalte stellst entsteht A'.

$\begin{eqnarray*} A' = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Multipliziere in A' die Elemente (<> 0) in den jeweiligen Spalten mit den Elementen in den entsprechenden Spalten von A, also

1. Spalte: b mal a
2. Spalte: c mal b
. . .

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & de & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ae \\ ab & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & bc & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cd & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^3 = A \cdot A^2 \end{eqnarray*}$

Das geht genauso. In $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ wird die 1. Spalte ans Ende verschoben. Die Rechnung wird genau wie oben durchgeführt.

$\begin{eqnarray*} A^5 = \begin{pmatrix} abcde & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & abcde & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & abcde & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & abcde & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & abcde \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie nun $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ aussieht, ist wohl nicht schwer zu erraten.

Bei deiner Aufgabe sieht die Populationsmatrix nicht so einfach aus.

31.08.2009, 22:24

boro

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: erstellung einer reproduzierende Populationsmatrix

Zitat:

Original von outSchool

Zitat:

Original von boro
. . . wie erstelle ich die die reproduzierende Populationsmatrix?

ok hat wunderbar geklappt, schon mal danke dafür

Zitat:

Original von outSchool

Zitat:

Original von boro
. . . wie kann ich z.B. eine Rechnung mit P^10 abkürzen?

dies gilt alles jetzt aber nur für zyklische Matrizen die diese normale form haben die du gerade beschrieben hast oder auch für meine anwendung?

Zitat:

Original von outSchool
Multipliziere in A' die Elemente (<> 0) in den jeweiligen Spalten mit den Elementen in den entsprechenden Spalten von A, also

1. Spalte: b mal a
2. Spalte: c mal b
. . .

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & de & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ae \\ ab & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & bc & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cd & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^3 = A \cdot A^2 \end{eqnarray*}$

Das geht genauso. In $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ wird die 1. Spalte ans Ende verschoben. Die Rechnung wird genau wie oben durchgeführt.

$\begin{eqnarray*} A^5 = \begin{pmatrix} abcde & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & abcde & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & abcde & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & abcde & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & abcde \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie nun $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ aussieht, ist wohl nicht schwer zu erraten.

Bei deiner Aufgabe sieht die Populationsmatrix nicht so einfach aus.

könnte ich dann wenn dies der fall ist einfach sagen (abcde)² ?

01.09.2009, 22:44

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: erstellung einer reproduzierende Populationsmatrix

Zitat:

Original von boro
dies gilt alles jetzt aber nur für zyklische Matrizen die diese normale form haben die du gerade beschrieben hast oder auch für meine anwendung?

In deiner Populationsmatrix $\begin{eqnarray*} P^{10} \end{eqnarray*}$ bleibt zwar die zyklische Struktur der Matrix $\begin{eqnarray*} A^{10} \end{eqnarray*}$ erhalten. $\begin{eqnarray*} P^{10} \end{eqnarray*}$ wird jedoch durch zusätzliche Elemente angereichert.

Zitat:

Original von boro
könnte ich dann wenn dies der fall ist einfach sagen (abcde)² ?

Ja.

Neue Frage »

Antworten »

erstellung einer reproduzierende Populationsmatrix

Verwandte Themen