gezinktes Glücksrad

31.08.2009, 19:55

Irrstern

gezinktes Glücksrad

hi zusammen,

komme bei folgender aufgabe nicht weiter:
man hat ein glücksrad, welches in 64 gleich große bereiche unterteilt ist. das rad hat diese wahrscheinlichkeitsdichte:

$\begin{eqnarray*} \psi(\rho)=1/4(sin(\phi /2)-1/2 sin(\phi)) \end{eqnarray*}$

einsatz ist 1 euro, gewinnt man erhält man 63 euro von der bank. die frage ist nun, ob die bank im mittel gewinnt.

wäre das glücksrad nicht gezinkt, ist der fall klar, bei 64 spielen macht die bank 1 euro gewinn. ich hab mir schon die w'keitsdichte dargestellt. nun ist es ja davon abhängig auf welchen bereich man tippt. werden alle bereiche gleichhäufig gewählt, müsste die bank im schnitt doch auch gewinnen. doch wie zeige ich dies rechnersich??

31.08.2009, 21:21

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Es wäre sicher ganz zweckmäßig, wenn du uns auch noch über die inhaltliche Bedeutung von $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aufklärst. So wie es momentan oben steht, ist die Dichte bzgl. Argument $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ konstant, d.h. es geht um die stetige Gleichverteilung - ob du das so gemeint hast???

Und falls doch $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (der Glücksradwinkel???) das Argument ist: Um welches Intervall geht es dann:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \phi < 2\pi \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} -\pi < \phi \leq \pi \end{eqnarray*}$

oder wie, oder was? Nicht immer alle nötigen Infos aus der Nase ziehen lassen! unglücklich

31.08.2009, 23:17

Mystic

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Ich würde sagen, das Ganze macht nur Sinn, wenn das Argument wirklich $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ist und natürlich müsste dann auch $\begin{eqnarray*} 0 \leq \phi < 2\pi \end{eqnarray*}$ sein, denn sonst hätte es man mit negativen Dichten zu tun. Ich würde als erstes mal das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \psi(\phi) d\phi \end{eqnarray*}$

berechnen, zumindestens scheint mir das keine schlechte Idee zu sein...

01.09.2009, 09:28

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Zitat:

Original von Mystic
Ich würde sagen, das Ganze macht nur Sinn, wenn das Argument wirklich $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ist und natürlich müsste dann auch $\begin{eqnarray*} 0 \leq \phi < 2\pi \end{eqnarray*}$ sein, denn sonst hätte es man mit negativen Dichten zu tun. Ich würde als erstes mal das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \psi(\phi) d\phi \end{eqnarray*}$

berechnen, zumindestens scheint mir das keine schlechte Idee zu sein...

So ist es wohl - allerdings sollte man das gleich dazusagen, statt dem Leser (und potentiellen Helfer) erst durch lange Plausiblitätsbetrachtungen raten lassen, was denn nun im Detail gemeint sein könnte.

@Irrstern

Und was ich oben angesprochen hatte, ist noch lange nicht alles:

Wo in diesem Winkelbereich soll denn nun die Gewinnzone liegen? Dessen Größe soll vermutlich $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{64} \end{eqnarray*}$ Radiant sein, aber über dessen Position innerhalb von $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ hast du bisher ebenfalls kein Wort verloren. unglücklich

01.09.2009, 10:21

Irrstern

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tut mir leid das ich da ein paar wichtige infos vergessen hab mit anzugeben und dann noch ein blöden schreibfehler drin hatte.
also, $\begin{eqnarray*} \rho(\phi)=1/4(sin(\phi /2)-1/2 sin(\phi)) \end{eqnarray*}$ muss es natürlich heißen, das intervall ist $\begin{eqnarray*} 0 \leq \phi < 2\pi \end{eqnarray*}$ .
die gewinnzone ist ein feld der größe $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{64} \end{eqnarray*}$ , verändert sich jedoch nach jedem spiel. die obrige wahrscheinlichkeitsdichte ist nicht bekannt, weder spieler noch bank. die gewinnzone wird zufällig verändert.

klar ist, plottet man sich die wahrscheinlichkeitsdichte, das es von dem ort der gewinnzone abhängt, ob die bank im mittel gewinnt oder nicht.
ich vermute, dass im mittel die wahrscheinlichkeitsdichte daher gleich verteilt ist, da die gewinnzone zufällig verändert wird. somit wären wir dann wieder beim ungezinkten glücksrad und die bank würde bei 64 spielen 1 euro gewinn machen.

sind die überlegungen richtig? wie kann ichs mathematisch zeigen?

01.09.2009, 11:51

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Es liegt hier ja offenbar ein mehrstufiges Verfahren vor:

In einer ersten Stufe wird der Gewinnsektor ausgelost - ich nehme mal an, gleichverteilt von 1 bis 64, beschrieben durch die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das Gewinnereignis bezeichnet, dann hat man bei Gewinnsektor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Gewinnwahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} p_k = P(G \bigm| S=k) = \int\limits_{(k-1)\cdot \frac{\pi}{32}}^{k\cdot \frac{\pi}{32}} ~ \rho(\phi) ~ \dd \phi \end{eqnarray*}$ .

Folglich hat man die totale Gewinnwahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(G) = \sum_{k=1}^{64} P(S=k)\cdot P(G \bigm| S=k) = \sum_{k=1}^{64} \frac{p_k}{64} = \frac{1}{64} \int\limits_0^{2\pi} ~ \rho(\phi) ~ \dd \phi = \frac{1}{64} \end{eqnarray*}$ ,

völlig gleichgültig, wie das konkrete $\begin{eqnarray*} \rho(\phi) \end{eqnarray*}$ aussieht, solange es nur eine korrekte Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

02.09.2009, 12:44

Irrstern

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danke für die klare und verständliche antwort, hast dir auf jeden fall ein handtuch verdient, gruß vom irren

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