Grenzwert x log(x) für x -> 0

01.09.2009, 00:27

JuliusSpringer

Grenzwert x log(x) für x -> 0

Hi Community,

der Titel sagt schon alles, kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich auf den Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} ( x \cdot log(x)) \end{eqnarray*}$

komme. Über die Potenzreihenentwicklung komm ich hier auch nicht weiter.

Wäre nett, wenn mich jemand in die richtige Richtung leiten könnte. smile

Danke!

01.09.2009, 00:36

Petzinger

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Das geht mit l'Hospital!

01.09.2009, 00:37

Bernd

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hallo,

Du musst einfach die Logarithmengesetze benutzen:

$\begin{eqnarray*} x \cdot \log(x) = \log\left( x^x \right) \end{eqnarray*}$

Und den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray*}$

kennst Du, oder?

01.09.2009, 00:43

Nubler

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l'hospital geht so noch nicht

betrachte erst x=1/t und schick dann t nach unendlich

01.09.2009, 14:41

Mystic

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Zitat:

Original von Bernd
hallo,

Du musst einfach die Logarithmengesetze benutzen:

$\begin{eqnarray*} x \cdot \log(x) = \log\left( x^x \right) \end{eqnarray*}$

Und den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray*}$

kennst Du, oder?

Ist echt lustig dieser Vorschlag, indem hier eine leichte Aufgabe wie die Bestimmung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \ln x \end{eqnarray*}$

auf die viel schwierigere Aufgabe der Bestimmung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray*}$

zurückgeführt wird. Tatsächlich geht in der Praxis die Bestimmung von letzterem Grenzwert eben durch die Zurückführung auf ersteren, so dass wir hier also einen klassischen circulus vitiosus hätten.

Auch der Vorschlag

Zitat:

Original von Nubler
l'hospital geht so noch nicht

betrachte erst x=1/t und schick dann t nach unendlich

will mir nicht so recht gefallen, obwohl er schon besser ist, da man sich hier x=0 von rechts her nähert, d.h., es wird eigentlich der rechtsseitige Grenwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} x \ln x \end{eqnarray*}$

brechnet, was im wahrsten Sinne des Wortes nur eine halbe Sache ist.

Warum um 5 Ecken herum, wenn man ganz einfach den L'Hospital auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {\ln x} {\frac 1 x} \end{eqnarray*}$

anwenden kann???

01.09.2009, 15:47

Bernd

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Zitat:

Original von Mystic

Ist echt lustig dieser Vorschlag, indem hier eine leichte Aufgabe wie die Bestimmung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \ln x \end{eqnarray*}$

auf die viel schwierigere Aufgabe der Bestimmung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray*}$

zurückgeführt wird.

Das hast Du nicht verstanden: Dieser Grenzwert ist allgemein bekannt. Wenn er also nicht gerade erst bestimmt werden soll, darf man ihn selbstverständlich benutzen.

In meinen Augen gibt es keinen Grund sich „dumm zu stellen“ und nochmal alles von vorne zu berechnen.

Aber bevor wir weiter spekulieren, was der Aufgabensteller möchte, sollte sich der vielleicht erst wieder melden. ;-)

01.09.2009, 16:18

JuliusSpringer

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Vielen Dank,

der Trick mit l'Hospital habe ich gesucht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {\ln x} {\frac 1 x} \end{eqnarray*}$

Das Problem $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ hat Mystic schon erkannt, denn wenn man
beweisen will, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x = 1 \end{eqnarray*}$ muss man das ganze mit
so umformulieren, dass man wieder auf den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {\ln x} {\frac 1 x} \end{eqnarray*}$ kommt.

Anmerkung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} e^{x ln x} \end{eqnarray*}$

Kennt jemand eine Variante die ohne l'Hopital auskommt? Nur aus reiner Neugierde.

Vielen Dank nochmal!

01.09.2009, 18:26

Mystic

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Zunächst möchte ich sagen, dass der Lösungvorschlag von Nubler eigentlich in Ordnung war, da man sich der 0 ohnehin nur von rechts her nähern darf, wenn man im Reellen bleiben will. Sorry, nobody is perfect! Meine Vorbehalte gegen die Lösung von Bernd bleiben aber bestehen und werden offenbar auch vom Threadersteller geteilt.

Eine etwas andere Lösung macht sich die Reihenentwicklung

$\begin{eqnarray*} (1+x)\ln(1+x) = x +\frac {x^2} {1 \cdot 2}-\frac {x^3} {2 \cdot 3}+\frac {x^4} {3 \cdot 4}-\frac {x^5} {4 \cdot 5}+\ldots \end{eqnarray*}$

zunutze. (Um sie zu erhalten geht man am besten von der Gleichung aus, die man durch zweimaliges Ableiten erhält und integriert dann zweimal.) Hier muss man dann den rechtseitigen Grenzwertoperator $\begin{eqnarray*} \lim _{x \to -1^{+}} \end{eqnarray*}$ auf beide Seiten der Gleichung anwenden und bei der Auswertung der rechten Seite mit dem sogenannten "Teleskoptrick" arbeiten.

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