Doppelte Nullstellen Polynome

01.09.2009, 14:14

plizzz

Doppelte Nullstellen Polynome

Hallo,

angenommen, ich habe ein Polynom und weiß, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} p(x_0)=0 \text{ und } p'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Folgt dann daraus, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine doppelte Nullstelle ist?
Wenn ja, warum?

Könnte übrigens totaler Unsinn sein, denn ich habe keine (mathematischen) Hinweise darauf, dass es so sein sollte. Es ist nur so, dass es mir so vorkam, als wäre das bei einem Beweis benutzt worden, allerdings kann es auch sein, dass ich es bloß falsch verstanden habe.

Vielen Dank und freundliche Grüße,

plizzz

01.09.2009, 14:44

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Zitat:

Original von plizzz
Hallo,

angenommen, ich habe ein Polynom und weiß, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} p(x_0)=0 \text{ und } p'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Folgt dann daraus, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine doppelte Nullstelle ist?

Ja, besser gesagt eine mindestens doppelte Nullstelle. Betrachte die "verschobene" Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} q(x) := p(x+x_0) \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} q(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann kannst du das sehr leicht zeigen.

01.09.2009, 15:36

plizzz

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Ok danke, habe es. War mit dieser Überlegung dann wirklich nicht mehr sonderlich schwer.

03.09.2009, 12:01

plizzz

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Kann es sein, dass es sogar äquivalent ist? Also dass aus einer doppelten Nullstellen $\begin{eqnarray*} p(x_0)=0 \text{ und } p'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ folgt?

03.09.2009, 12:15

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So ist es - diese Richtung ist allerdings noch einfacher.

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