aus Verteilungsfunktion den Erwartungswert bestimmen

01.09.2009, 14:22	kern21	Auf diesen Beitrag antworten »
aus Verteilungsfunktion den Erwartungswert bestimmen Hi, ich habe eine kleine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme: Sei $\begin{eqnarray} F_s(t) = \begin{cases} 0 & t \leq -1\\ \frac{1}{4} & -1 < t \leq 1\\ 1 & t > 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ . Gesucht ist der Erwartungswert von $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ . Aber wie erhalte ich denn die Werte von s? Ich müsste ja eigentlich etwas wie $\begin{eqnarray} E(s) = \sum_{i=1}^3 x_i p_i \end{eqnarray}$ berechnen. Die Wahrscheinlichkeiten in den Intervallen habe ich, aber wie mache ich nun weiter? Ehrlich gesagt verwirrt mich die Aufgabe ziemlich.
01.09.2009, 14:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Verteilungsfunktion ist im vorliegenden Fall eine Treppenfunktion, also ist es schon mal richtig, dass die zugehörige Zufallsgröße diskret ist. Hast du nicht kennengelernt, wie du direkt aus dieser Verteilungsfunktion die möglichen Werte $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ der Zufallsgröße ablesen kannst, und auch die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ , mit denen $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ angenommen wird? Mag sein, dass die umgekehrte Fragestellung (also aus $\begin{eqnarray} x_i,p_i \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} F_s \end{eqnarray}$ basteln) verbreiteter ist... Dann mal als Erinnerungsstütze $\begin{eqnarray} p_i = P(X=x_i) = P(X\leq x_i) - P(X < x_i) = F_s(x_i)-F_x(x_i-0) \end{eqnarray}$ , dabei bezeichnet $\begin{eqnarray} F_s(x_i-0) \end{eqnarray}$ den linksseitigen Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray} F_s \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ . Wo hat denn nun $\begin{eqnarray} F_s \end{eqnarray}$ derartige "Sprünge" ?
01.09.2009, 15:05	kern21	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also dann kommt vermutlich $\begin{eqnarray} E(s) = \frac{1}{4} \cdot (-1) + \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ heraus. Aber ist nicht z.B. $\begin{eqnarray} P(s=-1) = P(s \leq -1) - P(s < -1) = 0 \end{eqnarray}$ ? Sorry, wenn ich mich dumm anstelle
01.09.2009, 15:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich sehe es jetzt erst: Du arbeitest mit einer linksstetigen Verteilungsfunktion, d.h., $\begin{eqnarray} F_S(t) = P(S < t) \end{eqnarray}$ . Das kenne ich ich eher nur noch aus der alten "russischen" Schule. Heutzutage, und in der westlichen Hemisphäre sowieso schon immer, ist eher die rechtsstetige Variante $\begin{eqnarray} F_S(t) = P(S \leq t) \end{eqnarray}$ üblich. Na dann, für beide Varianten ist man mit $\begin{eqnarray} p_i = P(S=x_i) = P(S\leq x_i) - P(S < x_i) = F_S(x_i+0)-F_S(x_i-0) \end{eqnarray}$ auf der sicheren Seite.
01.09.2009, 15:25	kern21	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei uns sind auch rechtsseitige Verteilungsfunktionen üblich. Die Aufgabe hatte ich mir von einer Klausur geklaut. Danke!

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