Reihe berechnen

01.09.2009, 22:53

mr_francis

Reihe berechnen

Hi zusammen, kann mir jmd sagen wie man auf die Lösung kommt.
Man soll die Reihe berechnen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!2^{k} } \end{eqnarray*}$
und die lösung soll
$\begin{eqnarray*} \sqrt{e} \end{eqnarray*}$ sein, nur wie kommt man denn da drauf?

gruß!

01.09.2009, 22:57

Munter

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihe Berechnen
Wenn Du die Reihendarstellung der Exponentialfunktion kennst ist das ein Einzeiler!

02.09.2009, 11:44

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ohne Exponentialfunktion wird’s schwierig aber probieren wir's trotzdem... Es geht also bei der Aufgabe darum, den Grenzwert der Partialsummenfolge

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n \frac 1 {k! 2^k} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Um weiterzukommen, ist es besser, die Folge

$\begin{eqnarray*} s'_n = \sum_{k=0}^n (1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)\ldots (1-\frac {k-1} n)\frac 1 {k! 2^k} \end{eqnarray*}$

zu betrachten, die offensichtlich für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ den gleichen Grenzwert hat. Diesen Term musst du dann versuchen durch diverse Umformungen auf die Gestalt

$\begin{eqnarray*} s'_n= \sum_{k=0}^n \begin {pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac 1 {(2n)^k} \end{eqnarray*}$

zu bringen. Von hier ab weißt du dann hoffentlich selbst wie's weitergeht...

02.09.2009, 22:51

Munter

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mystic!

Ein paar Anmerkungen:

1. Du sagst einerseits: "Ja, ohne Exponentialfunktion wird’s schwierig aber probieren wir's trotzdem" - andererseits ist für die wesentlichen Folgerungen in deinem Vorschlag die Kenntnis von e (und somit sicher auch von exp) unabdingbar.

2. Das Dein s' den gleichen Grenzwert hat ist -zumindest für jemanden dem diese Aufgabe gestellt wurde- alles andere als offensichtlich.

Fazit: Ein sicherlich gut gemeinter Input, der mr_francis vermutlich eher verwirrt.

03.09.2009, 00:21

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

@Munter

1. Die Kenntnis von e ist natürlich notwendig, schließlich solll ja $\begin{eqnarray*} \sqrt e \end{eqnarray*}$ bei der Berechnung herauskommen, was wir aber nicht brauchen ist

$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} {k!} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

2. Dass $\begin{eqnarray*} s'_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ denselben Grenwert haben ist offensichtlich, denn die beiden Ausdrücke unterscheiden sich ja nur um dem Faktor

$\begin{eqnarray*} (1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)\ldots (1-\frac {k-1} n) \end{eqnarray*}$

der für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ offensichtlich gegen 1 geht. Ich vermute daher, dass du meintest, es ist nicht offensichtlich, wie man auf diesen Faktor kommt, aber das ist eben der "Trick" bei der ganzen Sache. Ich will aber auch gar nicht, dass der Threadersteller diesen Trick selber findet, sondern nur, dass er die Rechnungen nachvollziehen kann.

Schauen wir uns vielleicht auch den Rest noch schnell an, nur um zu sehen, ob man die Gleichung (*) nicht irgendwo vielleicht doch noch braucht. Es ist nach dem was ich in meinem Posting oben ausgeführt habe offensichtlich

$\begin{eqnarray*} s'_n = \large (1+\frac 1 {2n} \large )^n = \sqrt {(1+\frac 1 {2n})^{2n} } =\sqrt e +o(1) \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} s'_n \end{eqnarray*}$ (und damit auch $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ) strebt tatsächlich gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt e \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Das Ganze ist also sicher eine gültige Herleitung ohne Verwendung von (*), ob sie den Threadersteller nun "eher verwirrt" oder nicht, soll er selbst entscheiden, schlimmstenfalls kann er es immer noch einfach ignorieren. Augenzwinkern

03.09.2009, 10:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
2. Dass $\begin{eqnarray*} s'_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ denselben Grenwert haben ist offensichtlich, denn die beiden Ausdrücke unterscheiden sich ja nur um dem Faktor

$\begin{eqnarray*} (1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)\ldots (1-\frac {k-1} n) \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Es ist nicht

$\begin{eqnarray*} s_n'=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\cdot s_n \end{eqnarray*}$ ,

dabei wäre ja auch gar nicht klar, was $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ überhaupt sein soll. $\begin{eqnarray*} s_n' \end{eqnarray*}$ ist hingegen eine Summe mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden, wobei jeder Summand einen anderen, von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängigen Faktor enthält im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ . Da kannst du nicht so einfach sagen, dass es trivial wäre, dass sie den gleichen Grenzwert haben. Denn du kannst ja nicht einfach argumentieren, dass die Faktoren gegen Eins konvergieren, weil du dafür die Grenzwertsätze bräuchtest. Das geht aber nur für endliche Summen und nicht für solche, bei denen der obere Index selbst gegen unendlich geht!

Dass die beiden Folgen den gleichen Grenzwert haben, stimmt, ist aber lange nicht so trivial, wie du vorgibst.

03.09.2009, 10:57

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, da hast natürlich recht und damit auch Munter, das ist echt eine Schwachstelle in dem ganzen Beweis... Werde mir überlegen, wenn ich mehr Zeit habe als gerade jetzt, wie man das reparieren kann...

Neue Frage »

Antworten »

Reihe berechnen

Verwandte Themen