Integration durch Substitution

02.09.2009, 12:26

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution

Hallo :-)

Ich soll folgende Aufgabe durch Substitution lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{o}^{\pi^2}\frac{sin2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie weiß ich nicht mal, wo ich da wie anfangen soll und was ich da überhaupt substituieren soll, $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ oder vielleicht doch sin2, und wie werde ich dann in ersterem Fall g' wieder los?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ kann man vermutlich nicht einfach wegkürzen??

Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen - vielen Dank!

02.09.2009, 12:48

DarthVader

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als erstes würde ich vorschlagen $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ zu substituieren......und dann sehen wir weiter

02.09.2009, 20:34

Mistmatz

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$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi^2}{\frac{\sin{2}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm dx}=\int_0^{\pi^2}{\sin{2}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm dx}=\sin{2}\cdot\int_0^{\pi^2}{1\mathrm dx}=\left[\sin{2}\cdot x\right]_0^{\pi^2}=\sin{2}\cdot \pi^2 \end{eqnarray*}$

02.09.2009, 20:52

Rare676

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Zitat:

Original von Mistmatz
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi^2}{\frac{\sin{2}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm dx}=\int_0^{\pi^2}{\sin{2}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm dx}=\sin{2}\cdot\int_0^{\pi^2}{1\mathrm dx}=\left[\sin{2}\cdot x\right]_0^{\pi^2}=\sin{2}\cdot \pi^2 \end{eqnarray*}$

wenn ich es drastisch sagen will, dann passt deine Signatur perfekt zu dem, was du da geschrieben hast. Es ist absoluter quatsch!

02.09.2009, 21:05

Mistmatz

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Ich sag nur: $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi^2}{\frac{\sin{(2\sqrt{x})}}{\sqrt{x}}\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

02.09.2009, 21:06

Rare676

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Zitat:

Original von Mistmatz
Ich sag nur: $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi^2}{\frac{\sin{(2\sqrt{x})}}{\sqrt{x}}\mathrm dx} \end{eqnarray*}$

und was soll das? Es kommt öfter vor, dass man mal die Klammern weglässt. Es verleitet aber niemandem zu dem, was du da geschrieben hast. unglücklich

unglücklich

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03.09.2009, 12:23

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Hallo :-)

Es freut mich, dass Ihr beiden Euch beinahe überschlagt, um mir zu helfen ;-)

Ich versuchs also mal mit der Substitution von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi^2}\frac{sin2t}{t}*\frac{1}{2\sqrt{x}}dx \end{eqnarray*}$

Oder kann man $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ in g' auch substituieren, so dass man $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi^2}\frac{sin2t}{t}*\frac{1}{t}dx \end{eqnarray*}$ bekommt? Und dann irgendwie weiter mit dem Faktor t vor dem ganzen Ding, um g' loszuwerden?

03.09.2009, 12:55

Duedi

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Da passt irgendwas noch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

du substituierst also $\begin{eqnarray*} t=\sqrt x \end{eqnarray*}$ . Wie substituierst du dann das Differential $\begin{eqnarray*} \mathrm d x \end{eqnarray*}$ ?

03.09.2009, 12:59

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution
Mit der Substitution x = t² wäre das wahrscheinlich nicht passiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2009, 10:05

kanarienvogel78

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RE: Integration durch Substitution
ok, nächster Versuch...

x=t² und somit g'=2t

Bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi^2}\frac{sin2\sqrt{t^2}}{\sqrt{t^2}}*2tdx \end{eqnarray*}$ ?

Mit dem g' stimmt irgendwas nicht, glaube ich?

Aber bekommt man den Bruch dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{sin2t}{t} \end{eqnarray*}$ = sin t ?

04.09.2009, 10:21

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Da sind gleich mehrere Sachen bei der Substitution gegen den Baum gegangen, u.a. auch die Integrationsgrenzen. Es scheint System zu sein, dass da in der Vermittlung dieses Stoffes in der Schule vieles nicht rund läuft.

Ruhig und gründlich, ohne Hektik: Die Substitutionsregel lautet

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{g(a)}^{g(b)} ~ f(x) ~ \dd x = \int\limits_a^b ~ f(g(t)) g'(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Du wendest das hier auf $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sin(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ mit den Grenzen $\begin{eqnarray*} g(a)=a^2=0,g(b)=b^2=\pi^2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a=0,b=\pi \end{eqnarray*}$ an und erhältst bei richtiger Durchführung mit $\begin{eqnarray*} g'(t)=2t \end{eqnarray*}$ dann erstmal

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\pi^2} ~ \frac{\sin(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}} ~ \dd x = \int\limits_0^{\pi} ~ \frac{\sin(2t)}{t} \cdot 2t ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Wie man am Endergebnis sieht, kommt die Substitution $\begin{eqnarray*} g(t) = \frac{t^2}{4} \end{eqnarray*}$ noch genauer auf den Punkt.

04.09.2009, 13:09

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Die Integrationsgrenzen sind nicht das Problem, deshalb habe ich die erstmal weggelassen und mich auf die tatsächlichen "Böhmischen Dörfer" konzentriert ;-)

Dein Endergebnis habe ich verstanden, aber ich habe gelernt, dass man unbedingt noch das g' vor dem dt wieder loswerden muss - muss ich dafür den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} \end{eqnarray*}$ vor das ganze Ding setzen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t}*\int_{0}^{\pi}\frac{sin(2t)}{t}dt \end{eqnarray*}$

Oder ist das auch wieder "gegen den Baum gegangen"?

04.09.2009, 13:35

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von kanarienvogel78
Dein Endergebnis habe ich verstanden, aber ich habe gelernt, dass man unbedingt noch das g' vor dem dt wieder loswerden muss

Dann hast du was falsches gelernt.

Zitat:

Original von kanarienvogel78
muss ich dafür den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} \end{eqnarray*}$ vor das ganze Ding setzen?

Grundsätzlich kann man die Intergrationsvariable oder einen Ausdruck davon nicht vor "das Ding" setzen.

Arthur Dent hat dir doch alles genau vorgerechnet. Ausführlicher geht's nicht.

04.09.2009, 13:51

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Zitat:

Original von kanarienvogel78
Die Integrationsgrenzen sind nicht das Problem, deshalb habe ich die erstmal weggelassen

Hast du ja eben nicht:

Zitat:

Original von kanarienvogel78
Bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi^2}\frac{sin2\sqrt{t^2}}{\sqrt{t^2}}*2tdx \end{eqnarray*}$ ?

Genau deswegen bin ich ja so ausführlich drauf eingegangen.

Zum t-Integral: Warum kürzt du nicht einfach innerhalb des Integranden das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ?

Zu deiner Idee, einen von der Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängigen Term als Faktor aus dem Integral herauszuziehen: Das ergibt mathematisch nicht den geringsten Sinn - viel schlimmer noch: Da die Integrationsvariable außerhalb des Integrals gar keine Bedeutung hat, entstehen dabei völlig undefinierte Ausdrücke. Salopp gesagt: Absolutes NoGo! unglücklich

unglücklich

05.09.2009, 11:06

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Ich hab nochmal ausführlich nachgelesen in meinen schlauen Lehrwerken - da steht eindeutig, dass man g' irgendwie loswerden muss durch irgendwelche seltsamen Rechnungen, die ich nie kapiert habe, aber wenn Ihr mir sagt, das sei Schwachsinn, dann glaube ich das einfach mal - ist auch viel einfacher so!

Brauche ich das dann nur noch auszurechnen:

$\begin{eqnarray*} \int^\pi_0sin2t*tdt=[-cos2t*t]^\pi_o=(-cos2\pi*\pi)-(-cos0*0)=-3,12 \end{eqnarray*}$ ?

Oder sind da immer noch Bäume im Weg? ;-)

05.09.2009, 11:17

Romaxx

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Zitat:

Original von kanarienvogel78
Oder sind da immer noch Bäume im Weg? ;-)

Ja!

siehe

Zitat:

Original von Arthur Dent
Zum t-Integral: Warum kürzt du nicht einfach innerhalb des Integranden das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ?

05.09.2009, 11:25

AD

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Ich weiß auch nicht, warum kanarienvogel78 andauernd und beständig die falschen Integranden aufschreibt: Mal ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zuviel im Nenner, mal im Zähler, aber nie richtig. Das muss doch nicht sein, noch dazu nach all den Beiträgen hier, wenn man auch nur halbwegs konzentriert zu Werke geht. unglücklich

unglücklich

06.09.2009, 09:12

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Tut mir leid, offenbar ist Mathe so wenig mein Fall, dass ich sogar zu doof zum Kürzen bin :-(

Was soll denn da sonst rauskommen,

$\begin{eqnarray*} \int^\pi_0\frac{sin2t}{t}*2t~dt~~=~~\int^\pi_0sin4t~dt? \end{eqnarray*}$

Und falls Du trotz Begriffsstutzigkeit hoffentlich immer noch mit mir redest, noch eine blöde Frage: Bist Du sicher, dass g' = 2t richtig ist? Wenn x = t² ist, dann müsste das doch eigentlich g² und somit 2t = (g²)' sein? Und g = t = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und somit g' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{x}}? \end{eqnarray*}$

06.09.2009, 10:12

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Falls ich noch einen Versuch habe, wie wär's damit:

$\begin{eqnarray*} \int^\pi_0\frac{sin2t}{t}*2t~dt~~=~~\int^\pi_0sin2t*2~dt~? \end{eqnarray*}$

06.09.2009, 10:18

riwe

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RE: Integration durch Substitution
mit $\begin{eqnarray*} cos^2x=1-sin^2x \end{eqnarray*}$ kommst du nach einmaliger partieller integration auf:

$\begin{eqnarray*} I=-cosx\cdot sin^2x+2\int_{}^{}~sinx~dx -2I \end{eqnarray*}$

(I bedeutet das angegebene integral)

was sogar stimmen dürfte smile

smile

EDIT:
wieso das plötzlich hier steht, ist mir vollkommen schleierhaft,
das sollte im beitrag: PARTIELLE INTEGRATION stehen verwirrt

verwirrt

verwirrt

dort stelle ich es nun (auch und wieder) hin

06.09.2009, 12:56

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
???

Tut mir leid, davon verstehe ich jetzt kein Wort bzw. keine Zahl :-(

Und ich soll die Aufgabe explizit nicht mit partieller Integration, sondern mit Substitution lösen.

06.09.2009, 13:09

Romaxx

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von kanarienvogel78
$\begin{eqnarray*} \int\frac{sin2t}{t}*2t~dt~~=~~\int sin4t~dt? \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Du bringst das Argument von Sinus mit den Variablen ausserhalb des Sinus durcheinander.

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2t)}{t}\cdot 2t\neq sin(4t) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und falls Du trotz Begriffsstutzigkeit hoffentlich immer noch mit mir redest, noch eine blöde Frage: Bist Du sicher, dass g' = 2t richtig ist? Wenn x = t² ist, dann müsste das doch eigentlich g² und somit 2t = (g²)' sein? Und g = t = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und somit g' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{x}}? \end{eqnarray*}$

Was du hier machst, ist mir ein Rätsel.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{sin2t}{t}*2t~dt~~=~~\int sin2t*2~dt~? \end{eqnarray*}$

Das ist widerrum das, von dem wir die ganze Zeit reden smile

smile

.

$\begin{eqnarray*} \int2\cdot sin(2t)~dt \end{eqnarray*}$

Das lässt sich nun aber schon mit scharfem Blick ganz einfach intergieren.

Edit: Habe hier die Integrationsgrenzen nicht beachtet. Diese musst du noch in die Substitution einsetzen.

06.09.2009, 13:11

AD

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von kanarienvogel78
$\begin{eqnarray*} \int^\pi_0\frac{sin2t}{t}*2t~dt~~=~~\int^\pi_0sin4t~dt? \end{eqnarray*}$

Das zeigt mir nur allzu deutlich, dass du dringendst beim Sinus-Funktionsargument Klammern setzen solltest, worauf schon ganz früh im Thread hingewiesen wurde, was du aber nicht ernst genommen hast.

Zitat:

Original von kanarienvogel78
Falls ich noch einen Versuch habe, wie wär's damit:

$\begin{eqnarray*} \int^\pi_0\frac{sin2t}{t}*2t~dt~~=~~\int^\pi_0sin2t*2~dt~? \end{eqnarray*}$

Im Sinne von

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^\pi ~ \frac{\sin(2t)}{t} \cdot 2t ~ \dd t = \int\limits_0^\pi ~ \sin(2t) \cdot 2 ~ \dd t \end{eqnarray*}$

stimmt das, na endlich!

Dass man nicht einfach konstante Faktoren in den Sinus hinein- oder herausziehen kann, sollte dir jetzt hoffentlich klar sein.

07.09.2009, 12:05

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Dass man am Sinus nichts rumbasteln darf, erinnere ich auch noch irgendwo im Hinterkopf - aber in seiner Verzweiflung denkt sich der Mensch eben viel aus! ;-)

Nachdem ich also endlich zu diesem Ergebnis gekommen bin, rechne ich das wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \int^\pi_0sin(2t)*2~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =[2*(-cos(2t))]^\pi_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2*(-cos(2\pi))-2*(-cos0)~=~-2+2=0 \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen, oder mache ich da schon wieder irgendwas falsch?

07.09.2009, 12:36

Mistmatz

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Das Ergebnis ist richtig, aber deine Stammfunktion ist falsch.

$\begin{eqnarray*} \int{\sin{(2x)}\text{ }dx}\ne -\cos{(2x)}+c \end{eqnarray*}$ denn: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(-\cos{(2x)}+c)=\sin{(2x)\cdot 2} \end{eqnarray*}$

Du musst hier nochmal substituieren.

07.09.2009, 12:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mistmatz
Du musst hier nochmal substituieren.

Oder eben die vermeintliche Stammfunktion halbieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2009, 13:30

Mistmatz

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Oder so.

smile

Aber was macht er, wenn da irgendwann steht $\begin{eqnarray*} \int{\sin{(ax+b)}\text{ }dx}=... \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 13:38

klarsoweit

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Dann kann er es auch erstmal mit $\begin{eqnarray*} \cos{(ax+b)} \end{eqnarray*}$ versuchen, das ableiten und den fehlenden Faktor durch Vergleich mit $\begin{eqnarray*} \sin{(ax+b)} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2009, 13:51

Mistmatz

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Augenzwinkern

Ach, das macht keinen Spaß mit dir... Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2009, 11:44

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Das verstehe ich jetzt leider alles überhaupt nicht unglücklich

unglücklich

(echt hoffnungsloser Fall!)

Das einzige, das vielleicht zu mir spricht, ist

Zitat:

Oder eben die vermeintliche Stammfunktion halbieren.

Aber dann lande ich bei $\begin{eqnarray*} [2*\frac{1}{2}(-cos2t)]^\pi_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =~~2*\frac{1}{2}(-cos2\pi)~-~2*\frac{1}{2}(-cos0)~~=~~0 \end{eqnarray*}$

und das ist ja auch kein Unterschied...

Was bedeutet

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}~(-cos(2x)~+c)~~=~~sin(2x)*2~~? \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ , und wo bekommst Du das $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$ her?

Und wo soll ich was und wie und weshalb nochmal substituieren, um zu einer richtigen Stammfunktion zu kommen?

Ich glaube, das kapiere ich nie unglücklich

unglücklich

08.09.2009, 12:02

Mistmatz

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Du hast weiter oben geschrieben: $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}{\sin{(2t)}\cdot 2~dt}=\left[-2\cdot\cos{(2t)}\right]_0^{\pi} \end{eqnarray*}$ und das ist so nicht richtig.

Denn die Ableitung deiner Stammfunktion (rechte Seite) ist: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\left(-2\cdot\cos{(2t)}\right)=-2\cdot\sin{(2t)}\cdot 2=-4\cdot\cos{(2t)} \end{eqnarray*}$ (nachdifferenzieren).

Das $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$ ist die Leibniz-Schreibweise für die Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}f(t)=f'(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}f(x)=f'(x) \end{eqnarray*}$ . Man sieht hier, was abgeleitet wird und vor allem, nach welcher Variablen abgeleitet wird.

Zurück zu deiner Funktion: $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi^2}{\frac{\sin{(2\sqrt{x})}}{\sqrt{x}}~dx}=2\cdot\int_0^{\pi}{\sin{(2t)}~dt} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=t^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx=2t\cdot dt \end{eqnarray*}$

So, nun ist aber der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sin{(2t)} \end{eqnarray*}$ erneut eine Verkettung von Funktionen.

Du weißt ja, wenn du eine Verkettung von Funktionen integrieren willst, brauchst du Substitution. Du substituierst nun also: $\begin{eqnarray*} 2t=u \end{eqnarray*}$ und machst das gleiche nochmal.

[Edit]:

Zitat:

Original von kanarienvogel78
Aber dann lande ich bei $\begin{eqnarray*} [2*\frac{1}{2}(-cos2t)]^\pi_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =~~2*\frac{1}{2}(-cos2\pi)~-~2*\frac{1}{2}(-cos0)~~=~~0 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig smile

smile

08.09.2009, 12:08

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von kanarienvogel78
Aber dann lande ich bei $\begin{eqnarray*} [2*\frac{1}{2}(-cos2t)]^\pi_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =~~2*\frac{1}{2}(-cos2\pi)~-~2*\frac{1}{2}(-cos0)~~=~~0 \end{eqnarray*}$

und das ist ja auch kein Unterschied...

Das mag in diesem speziellen Fall so sein. Bei anderen Grenzen sieht das aber anders aus. smile

smile

08.09.2009, 21:46

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Tut mir leid, ich bleibe einfach doof traurig

traurig

Wenn ich 2t substituiere, dann ist u = 2t und u' = 2,

und dann bin ich doch schon wieder bei

$\begin{eqnarray*} 2*sinu~=~-2*cosu*2~=~-4~cosu \end{eqnarray*}$

unglücklich

unglücklich

08.09.2009, 21:58

Mistmatz

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$\begin{eqnarray*} 2\int{\sin{(2t)}~\dd t}=2\int{\sin{u}~\dd t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u=2t \end{eqnarray*}$

Dir fehlt nun noch das Differenzial $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$

09.09.2009, 08:59

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Tut mir leid, das verstehe ich schon wieder nicht traurig

traurig

Wie wäre es vielleicht mit

$\begin{eqnarray*} 2*\int~sinu~dt~=~2*\frac{1}{2}*\int~sinu~du~=~2*\frac{1}{2}*[-cosu]~=~2*\frac{1}{2}*[-cos2t] \end{eqnarray*}$

09.09.2009, 09:14

klarsoweit

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Vielleicht sollte man einfach mal nur das Chaos sortieren. Es ging doch nur noch um:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_0^{\pi}~\sin(2t)~dt = \int_0^{\pi}~2 \sin(2t)~dt = ... \end{eqnarray*}$

Entwder sieht man sofort, daß -cos(2t) eine Stammfunktion ist und rechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}~2 \sin(2t)~dt = [-cos(2t)]_0^{\pi} = ... = 0 \end{eqnarray*}$

Oder man substituiert u = 2t und du = 2dt und rechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}~2 \sin(2t)~dt = \int_0^{2 \pi}~sin(u)~du = [-cos(u)]_0^{2\pi} = ... = 0 \end{eqnarray*}$

09.09.2009, 11:55

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution
Ich glaube, langsam habe ich das tatsächlich doch noch kapiert...

Aber geht das "Chaos" aus meinem letzten Beitrag trotzdem auch?

09.09.2009, 12:01

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution
Die merkwürdige Mischung der Integrationsvariablen u und t im ersten Integral würde ich als eher fragwürdig ansehen. Es ist auch nicht plausibel, warum in der weiteren Folge das 2 mal 1/2 nicht zu einer 1 zusammengefaßt wird.

09.09.2009, 12:24

kanarienvogel78

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Integration durch Substitution

Zitat:

Es ist auch nicht plausibel, warum in der weiteren Folge das 2 mal 1/2 nicht zu einer 1 zusammengefaßt wird.

Das ist für die besonders Doofen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jedenfalls vielen Dank für alle Mühe und Geduld!

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