Grenzwertberechnung

02.09.2009, 20:41	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung Nabend allerseits. $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x \to 0} \frac{ln\sin(2x) }{ln\sin(x)} <br /> \end{eqnarray}$ Durch L'Hospital ergibt sich zunächst: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x)\cos(2x) }{\sin(2x)\cos(x)} <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich damit fortfahre, ergibt sich ein ellenlanger Term, der aber auch widerrum einer nochmalige Anwendung erfordert.. Entweder mache ich etwas furchtbar falsch, oder vertue mich ebenso furchtbar bei den Ableitungen bzw. Zusammenfassungen..
02.09.2009, 20:51	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
benutze $\begin{eqnarray} sin(2x)=2sin(x)cos(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x) \end{eqnarray}$
02.09.2009, 22:53	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
und es kommt 2 heraus... danke!
02.09.2009, 23:21	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf 2?
03.09.2009, 00:46	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
naja.. nach einiger Umformung siehts bei mir so aus: $\begin{eqnarray} <br /> =\lim_{x \to 0} \frac{-8\sin(x)\cos(x)}{-4\sin(x)\cos(x)} =2<br /> \end{eqnarray}$ Ok.. ich nehme an, da hab ich es mir um einiges zu leicht gemacht? aber selbst nach einer weiteren Anwendung L'Hospital: $\begin{eqnarray} <br /> =\lim_{x \to 0} \frac{-8\cos^2(x)+8\sin^2(x)}{-4\cos^2(x)+4\sin^2(x)} = \frac{-8}{-4}= 2<br /> \end{eqnarray}$
03.09.2009, 01:52	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst im Prinzip nur dass Additionstheorem für sin(2x) : $\begin{eqnarray} \frac{ln(sin(2x))}{ln(sin(x))}=\frac{ln(2)+ln(sin(x))+ln(cos(x))}{ln(sin(x))}=\frac{ln(2)}{ln(sin(x))}+1+\frac{ln(cos(x))}{ln(sin(x))} \end{eqnarray}$ Wenn du das jetzt für x gegen null streben lässt dann bist du schon fertig.
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