p-Norm

23.09.2006, 12:47

kingskid

p-Norm

Hi! Suche Vektoren $\begin{eqnarray*} x_p \not=0 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} p=1, \infty \end{eqnarray*}$ ) mit

$\begin{eqnarray*} || Ax_p||_p = ||A||_p ||x_p||_p \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} A =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab das mal für p=1 versucht:

$\begin{eqnarray*} ||A||_1=4 \end{eqnarray*}$ (Spaltensummennorm), d.h. ich bräuchte vektoren mit

$\begin{eqnarray*} ||Ax_1||_1 = 4 ||x_1|| \end{eqnarray*}$ wenn ich dann für $\begin{eqnarray*} x = (x_1,x_2)^t \end{eqnarray*}$ setze, bekomm ich:

$\begin{eqnarray*} |x_1+x_2| + |3x_1-x_2| = 4|x_1| + 4|x_2| \end{eqnarray*}$

aber damit komm ich irgendwie nicht weiter traurig

... könnt ihr mir bitte helfen??

viele grüße

23.09.2006, 13:54

Abakus

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RE: p-Norm
Probier einfach die Standardvektoren aus oder alternativ: setze eine Variable gleich 0 und schau, ob du die andere bestimmen kannst.

Grüße Abakus smile

23.09.2006, 17:37

kingskid

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hm, (1,0)^t würde die gleichung ja erfüllen, aber ist das schon die ganze lösung? ich mein gibt es vielleicht nicht noch mehr vektoren die das erfüllen? In der Aufgabe heißt es nur "finden Sie Vektoren die ... erfüllen" , langt es wenn man einen angibt?

und mit der unendlichkeitsnorm versteh ich das noch nicht ganz.
dann muss ich ja ein x finden, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} ||Ax||_{\infty}=||A||_{\infty} ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$

und die $\begin{eqnarray*} ||*||_{\infty} \end{eqnarray*}$ gibt ja die betragsmäßig größte komponente des vektors an... aber wie komm ich damit weiter?

...oder muss man das irgendwie über den spektralradius zeigen...??

viele grüße

24.09.2006, 17:48

Abakus

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Zitat:

Original von kingskid
hm, (1,0)^t würde die gleichung ja erfüllen, aber ist das schon die ganze lösung? ich mein gibt es vielleicht nicht noch mehr vektoren die das erfüllen? In der Aufgabe heißt es nur "finden Sie Vektoren die ... erfüllen" , langt es wenn man einen angibt?

Ja, das reicht. Die Fragestellung bedeutet, dass mindestens 2 verschiedene Vektoren anzugeben sind. Ansonsten müsste es heißen "finden Sie alle Vektoren, die ...".

Natürlich kannst du die Gleichung auch durch Quadrieren oder Fallunterscheidungen vereinfachen und lösen.

Zitat:

und mit der unendlichkeitsnorm versteh ich das noch nicht ganz.
dann muss ich ja ein x finden, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} ||Ax||_{\infty}=||A||_{\infty} ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$

und die $\begin{eqnarray*} ||*||_{\infty} \end{eqnarray*}$ gibt ja die betragsmäßig größte komponente des vektors an... aber wie komm ich damit weiter?

...oder muss man das irgendwie über den spektralradius zeigen...??

Auch hier gilt: einfach rumprobieren und einsetzen. Sinn der Aufgabe ist wohl, die unterschiedlichen Normen einmal in Aktion zu sehen.

Grüße Abakus smile

24.09.2006, 19:33

kingskid

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okay, alles klar, danke dir! =)

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