Integralexponentialfunktion entwickeln - WO?

03.09.2009, 22:08

ortega456

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Integralexponentialfunktion entwickeln - WO?

Hallo zusammen,

ich werde in einer Aufgabe danach gefragt die Reihendarstellung der Integralexponentialfunktion $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t} dt \end{eqnarray*}$ zu finden. Beim Integralsinus und Integralkosinus kann ich einfach und gemütlich um 0 entwickeln, was bei der Integralexponentialfunktion wg. der Divergenz in 0 nicht geht. Um welche Stelle entwickele ich aber die Integralexponentialfunktion, um am besten auf die Reihe zu kommen? Es wird x<0 vorausgesetzt.

Danke!

04.09.2009, 18:28

ortega456

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Hat niemand eine Idee?
Ich habe mal um -1 und nahe 0 entwickelt. Nahe 0 divergieren meine Werte und wenn ich um -1 entwickle bekomme ich Polynome steigenden Grades mit -e^(-1) multipliziert heraus.
Kann ich die Funktion irgendwie transformieren, um um 0 zu entwickeln?

05.09.2009, 09:20

Huggy

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Da muss man wohl ein wenig tricksen. Das Integral kann aufgespalten werden in:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x~\frac{e^t}{t}~dt =\int_{-\infty}^{-1}~\frac{e^t}{t}~dt+\int_{-1}^0~\frac{e^t-1}{t}~dt+\int_0^x~\frac{e^t-1}{t}~dt+\int_{-1}^x~\frac{1}{t}~dt \end{eqnarray*}$

Auch wenn es seltsam aussieht, das passt auch für x < 0, was ja vorausgesetzt ist. Die beiden ersten Terme sind Konstanten und die Reihenentwicklung von

$\begin{eqnarray*} \int_0^x~\frac{e^t-1}{t}~dt \end{eqnarray*}$

bereitet keine Probleme. Damit ist das reine Problem der Reihenwicklung gelöst. Für die Summe der beiden Konstanten gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{-1}~\frac{e^t}{t}~dt+\int_{-1}^0~\frac{e^t-1}{t}~dt=\gamma \end{eqnarray*}$

Wenn auch das bewiesen werden soll, ist noch etwas Arbeit notwendig, deren Umfang davon abhängt, was man an Beziehungen für die Eulersche Konstante $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ als bekannt voraussetzen darf.

05.09.2009, 11:29

ortega456

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Danke für den Lösungsvorschlag.
Ich habe aber geknobelt und gestern noch eine andere relativ einfache Lösung gefunden:
Vielleicht hilfts ja mal jemanden:

Ich entwickle die Reihe $\begin{eqnarray*} \int e^t = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k*k!} \end{eqnarray*}$ .

Dann leite ich das ganze ab und erhalte:
$\begin{eqnarray*} e^t = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$ . Was hier $\begin{eqnarray*} e^x - 1 \end{eqnarray*}$ entspricht.

Jetzt benutze ich den kleinen Trick, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} * \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist. Damit habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{x} \end{eqnarray*}$ entwickelt. Gliedweises integrieren ergibt mit der Abspaltung vom 0. Glied: $\begin{eqnarray*} ln|x| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k*k!} + C \end{eqnarray*}$ . Hier wählt man schließlich die Integrationskonsante C so, dass für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ die Funktion gegen Null strebt. Siehe da, im negativ Unendlichen Strebt die Funktion genau gegen - Euler-Gamma-Konstante, so dass man diese positiv als Integrationskonstante wählt!

05.09.2009, 11:53

Huggy

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Da stehen ein paar zweifelhafte, um nicht zu sagen unsinnige Gleichungen. In den ersten beiden Gleichungen steht rechts eine Funktion von x, links kommt aber gar kein x vor. Du solltest mal korrekt aufschreiben, was du da gemeint hast.

05.09.2009, 14:06

ortega456

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ersetze $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und schon stimmt es ;-)

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05.09.2009, 15:31

Huggy

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Zitat:

Original von ortega456
ersetze $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und schon stimmt es ;-)

Nein, so steht Falsches da! Deine beiden Gleichungen lauten dann:

$\begin{eqnarray*} \int~e^x~dx=x+\frac{x^2}{2\cdot2!}+\frac{x^3}{3\cdot3!}+\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\ldots \end{eqnarray*}$

Beides ist ganz offensichtlich falsch.

05.09.2009, 16:03

ortega456

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ja, mein Gedankengang ist etwas wirr aufgeschrieben.

Ich gehe aber von der Entwicklung
$\begin{eqnarray*} e^x=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\ldots \end{eqnarray*}$
aus.
Multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ergibt sich gerade die Entwicklung für $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{x} \end{eqnarray*}$ zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} * \frac{1}{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k!} =\frac{1}{x} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt Gliedweise integriert und das 0te Glied zu $\begin{eqnarray*} ln|x| \end{eqnarray*}$ integriert ergibt sich mit C=Euler-Mascheroni-Konst. gerade die Reihenentwicklung für Ei.

Einverstanden?
;-)

05.09.2009, 17:28

Huggy

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Nein, nicht einverstanden. verwirrt

verwirrt

Man kann natürlich umformen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x~\frac{e^t}{t}~dt=\int_{-\infty}^x~(\frac{1}{t}+\frac{e^t-1}{t})~dt \end{eqnarray*}$ und den Term

$\begin{eqnarray*} \frac{e^t-1}{t} \end{eqnarray*}$

kann man auch, wie du es getan hast, als Reihe schreiben. Aber egal wie, es gilt nicht einfach

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x~(\frac{1}{t}+\frac{e^t-1}{t})~dt=\int_{-\infty}^x~\frac{1}{t}~dt+\int_{-\infty}^x~\frac{e^t-1}{t}~dt \end{eqnarray*}$ ,

weil du auf der rechten Seite jetzt zwei bei $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ divergente Teilintegrale stehen hast, während das Integral links bei $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert. Das erste Teilintegral rechts ergäbe ja nicht einfach $\begin{eqnarray*} ln|x| \end{eqnarray*}$ , sondern es ergäbe $\begin{eqnarray*} ln|x|-ln|-\infty| \end{eqnarray*}$ . Du kannst nicht so einfach mal die Integrationsgrenzen ignorieren und sie dann an beliebiger Stelle wieder einfügen. Da ist mehr Sorgfalt notwendig.

05.09.2009, 17:56

ortega456

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ich forme ja auch nicht das Integral um, sondern die approximierende Reihe. Das Ergebnis ist ja jedenfalls richtig.

05.09.2009, 18:06

Huggy

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Du formst erst innerhalb des Integrals um und integrierst dann die Teile. Das kann bei uneigentlichen Integralen zu Problemen führen, wenn die Teilintegrale nicht konvergieren. Eine Reihe für das Integral hast du noch gar nicht. Die willst du ja erst gewinnen.

Aber ich habe den Eindruck, du willst die Problematik gar nicht erkennen. Man kann ein richtiges Ergebnis auch mit einer falschen Herleitung begründen. Ich glaube nicht, dass du mit dieser Herleitung Punkte bekommst. Viel Glück!

05.09.2009, 18:18

ortega456

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werden wir sehen ;-)
Schaue mir das aber nochmal an...

Jedenfalls Danke für die Tipps und Hinweise!

05.09.2009, 18:44

Huggy

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Vielleicht schaut ja noch mal jemand anderes aus dem Forum auf deine Herleitung.

05.09.2009, 19:32

Mathespezialschüler

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Ich stimme dir zu, Huggy. Die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \ln|x| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to-\infty \end{eqnarray*}$ beliebig groß wird, lässt sich auch nicht durch eine Integrationskonstante ändern.

05.09.2009, 21:37

ortega456

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Hmmm...

Hat denn nicht jeder gleichmäßig konvergente Reihe integrierbarer Funktionen eine integrierbare Summenfunktion?
So dass man die Summenzeichen vertauschen kann?

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \sum_{k=0}^{\infty} f_k(x) dx = \sum_{k=0}^{\infty} \int_a^b f_k(x) dx \end{eqnarray*}$

?

06.09.2009, 09:06

Mathespezialschüler

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Ja, für bestimmte Riemann-Integrale über abgeschlossenen Intervallen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stimmt das, aber bei uneigentlichen Integralen muss man vorsichtiger sein, zumal deine Summanden ja selbst auch nicht uneigentlich integrierbar sind und zumal die Reihe auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,1] \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig konvergiert.

06.09.2009, 12:05

ortega456

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Da stimme ich zu. Da aber in der Aufgabe x<0 vorausgesetzt ist, müsste doch die Riemann-Integrierbarkeit möglich sein. Weiterhin ist für x<0 die Reihe gleichmäßig konvergent.

Ich kann es noch nicht mit den kompakten Intervallen vereinbaren.

Ich habe im Netz etwas recherchiert und unter folgendem Link habe ich bei einem Vorlesungsscript für Höhere Mathematik genau die gleiche Lösung gefunden (Im PDF Beispiel 5):

http://www.iazd.uni-hannover.de/~pigors/ingenieure/dateien/maple/MI_6_1C.pdf

06.09.2009, 13:37

ortega456

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Weiterhin steht in Bronstein [8.2.3.3.4], dass unter gegebenen Voraussetzungen das Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty} f(x) dx =\lim\limits_{B \rightarrow \infty} \int_a^{B} f(x) dx \end{eqnarray*}$ durch eine Reihe der integrierten Summanden selbiger dargestellt werden kann. Womit das Problem des nicht kompakten Intervals $\begin{eqnarray*} (-\infty,x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x<x_0<0 \end{eqnarray*}$ geklärt ist, da ich das Integral auf eine positive obere Grenze zurückführen kann.

06.09.2009, 18:19

Huggy

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Eigentlich wollte ich dir nicht mehr antworten, weil ich es für vergebliche Liebesmühe hielt. Aber deine Literaturrecherchen haben mich bewogen, noch einen Versuch zu machen.

Du arbeitest einfach an an der falschen Stelle. Natürlich kannst du

$\begin{eqnarray*} \frac{e^t-1}{t}=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{t^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$

gliedweise integrieren, um die Stammfunktion zu bilden. Dann bekommst du für das bestimmte Integral

$\begin{eqnarray*} \int_a^x~\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{t^{k-1}}{k!}~dt=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{x^k}{k\cdot k!}-\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{a^k}{k\cdot k!} \end{eqnarray*}$

Du kannst auch jetzt den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} a\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ machen. Nur ist das Ergebnis des Grenzübergangs $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Der Bronstein sagt ja nur, dass du den Grenzübergang machen kannst, nicht aber dass das Ergebnis immer endlich ist. Das wäre ja kompletter Unfug. Dann würde ja jede Funktion, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lässt, bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ integriert ein endliches Ergebnis geben.

Und weil das Ergebnis unendlich ist und der Logarithmus auch unendlich wird, kannst du nicht schreiben

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x~\frac{e^t}{t}~dt=\int_{-\infty}^x~\frac{1}{t}~dt+\int_{-\infty}^x~\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{t^{k-1}}{k!}~dt \end{eqnarray*}$ ,

denn dann stünde ja da:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x~\frac{e^t}{t}~dt=\infty-\infty \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nicht die gliedweise Integration einer Potenzreihe, sondern dass deren Ergebnis hier unendlich wird , wenn eine Grenze gegen unendlich geht. Die elementare Grenzwertregel

$\begin{eqnarray*} \lim (a+b)=\lim a +\lim b \end{eqnarray*}$

gilt halt nur, wenn die Grenzwerte alle existieren. Dummerweise gibt es Fälle, wo der Grenzwert links existiert, die Grenzwerte rechts aber nicht.

06.09.2009, 18:28

Mathespezialschüler

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Ich sehe nicht, wo in dem Link die gleiche Lösung stehen sollte. Im Link wird durchgängig nur von Stammfunktionen gesprochen, niemals von bestimmten geschweige denn uneigentlichen Integralen. Eine Stammfunktion hast du auch gefunden, das stimmt. Aber mit dieser lässt sich das uneigentliche Integral nicht auswerten.

Zitat:

Original von ortega456
Weiterhin steht in Bronstein [8.2.3.3.4], dass unter gegebenen Voraussetzungen das Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty} f(x) dx =\lim\limits_{B \rightarrow \infty} \int_a^{B} f(x) dx \end{eqnarray*}$ durch eine Reihe der integrierten Summanden selbiger dargestellt werden kann.

Richtig, unter gegebenen Voraussetzungen. Die sollten für die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^a~\left(\sum_{k=0}^{\infty}~f_k(x)\right)~\mathrm dx=\sum_{k=0}^{\infty}~\int_{-\infty}^a~f_k(x)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

sicherlich lauten, dass

1. die Reihe gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \end{eqnarray*}$ konvergiert und

2. jeder Summand $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ selbst uneigentlich integrierbar ist.

In deinem Fall ist beides nicht erfüllt:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{x^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname e^x}{x} \end{eqnarray*}$ , denn dann müsste ja die Differenz gleichmäßig klein werden, was wegen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty}\left[\frac{1}{x}+\sum_{k=1}^n~\frac{x^{k-1}}{k!}-\frac{\operatorname e^x}{x}\right]=(-1)^{n-1}\cdot\infty \end{eqnarray*}$

für jedes feste $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ einfach nicht der Fall sein kann.

2. Die uneigentlichen Integrale existieren nicht. Weder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ noch die anderen Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{x^{k-1}}{k!} \end{eqnarray*}$ sind über $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \end{eqnarray*}$ uneigentlich integrierbar!

Es sind also keinerlei Voraussetzungen für irgendwelche Sätze erfüllt, die du zitierst. Im Übrigen siehe auch Huggys Beitrag.

08.09.2009, 18:46

ortega456

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ok Jungs, danke für die ausfühlriche Erklärung. Ich hatte die Grenzen des Integrals nicht beachtet - erkenne jetzt die Fehlannahme.

cheers!

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