Kreisteilungspolynom über endlichem Körper

04.09.2009, 13:05	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisteilungspolynom über endlichem Körper Hallo zusammen, ich arbeite zur Zeit mit einem Kommilitonen an einem Proseminar-Vortrag zum AKS-Primzahltest. (Vorwissen lediglich Lineare Algebra I). Jetzt taucht im Originalpaper folgendes Problem auf: Es wurde eine Zahl r gewählt, sowie eine Primzahl p, wobei gilt: $\begin{eqnarray} O_r(p)>1 \end{eqnarray}$ (O ist die Ordnung von p bezüglich r, sprich die kleinste Zahl k, für die gilt $\begin{eqnarray} p^k=1 \mod r \end{eqnarray}$ ) Nun wird das r-te Kreisteilungspolynom über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_p \end{eqnarray}$ betrachtet. Angeblich zerfällt dieses in irreduzible Faktoren vom Grad $\begin{eqnarray} O_r(p) \end{eqnarray}$ . 1. Das Kreisteilungspolynom entsteht doch als Produkt über Einheitswurzeln, wieso sollte es in irreduzible Faktoren vom Grad größer 1 zerfallen? 2. Angenommen $\begin{eqnarray} O_r(p) \neq 1 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet automatisch, dass $\begin{eqnarray} r \not \| p-1=\varphi (p) \end{eqnarray}$ und damit, dass es überhaupt keine Zahl gibt, für die gilt, dass sie primitive r-te Einheitswurzel über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_p \end{eqnarray}$ ist und somit auch das entsprechende r-te Kreisteilungspolynom nicht existiert. Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
04.09.2009, 13:25	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben gerade gemerkt, dass wohl die komplexen Einheitswurzeln gemeint sind, und dass man dann das Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{p} \end{eqnarray}$ betrachtet. In diesem Fall hat sich auch ein irreduzibler Faktor vom gewünschten Grad ergeben. Allerdings haben wir noch keine Ahnung, warum das so funktioniert, bzw. warum das Kreisteilungspolynom bestehend aus den komplexen Einheitswurzeln in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ liegt.
05.09.2009, 12:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Siegfried Bosch, Algebra, Springer Verlag, Kapitel 4.5 Einheitswurzeln, Seite 182-191. Satz 7. Es sei $\begin{eqnarray} \zeta \in \mathbb {\overline Q} \end{eqnarray}$ eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann ist der n-te Kreisteilungskörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\zeta) \end{eqnarray}$ eine endliche Galois-Erweiterung über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(\zeta):\mathbb Q]=\varphi(n) \end{eqnarray}$ . Definition 11. Es sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper. Für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N-\left\{0\right\} \end{eqnarray}$ mit (char K) $\begin{eqnarray} \not \| n \end{eqnarray}$ seien $\begin{eqnarray} \zeta_{1},...,\zeta_{\varphi(n)} \end{eqnarray}$ die primitiven n-ten Einheitswurzeln in $\begin{eqnarray} \overline K \end{eqnarray}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray} \phi_n=\prod_{i=1}^{\varphi(n)} (X-\zeta_i) \end{eqnarray}$ das n-te Kreisteilungspolynom über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Satz 12. (i) $\begin{eqnarray} \phi_n \end{eqnarray}$ ist ein normiertes separables Polynom in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} \varphi(n) \end{eqnarray}$ (ii) Für $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \phi_n\in\mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} \phi_n \end{eqnarray}$ ist irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ . (iii) $\begin{eqnarray} X^n-1=\prod_{d\|n,d>0}\phi(d) \end{eqnarray}$ . Ausgehend von $\begin{eqnarray} \phi_1=X-1 \end{eqnarray}$ kann man die Kreisteilungspolynome mit Hilfe der Formel in Satz 12 (iii) rekursiv berechnen.

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