Integration durch Substitution

04.09.2009, 13:39

Eva-S

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Integration durch Substitution

Ich möchte hier kurz eine andere Aufgabe aufgreifen die ich hier eben entdeckt habe.

Es interessiert mich, wie ich diese Aufgabe löse und zwar zunächst ohne Integrationsgrenzen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{sin2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx \end{eqnarray*}$

Ich habe gelesen direkt mit dem Quadrat zu substituieren wäre besser.
Ich tu einfach mal so als wüsste ich es nicht und substituiere also zunächst mit Wurzel x:

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{x} \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{x}} \Rightarrow dx = du \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

04.09.2009, 13:52

sergej88

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$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt x} \rightarrow du = \frac {dx}{2\sqrt x} \end{eqnarray*}$

reicht doch schon...

mach weiter...

mfg.

04.09.2009, 14:00

Romaxx

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Seit ihr euch beide bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ sicher?

04.09.2009, 14:01

sergej88

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ableitungen hab ich nicht kontrolliert, aber muss wohl noch ein 0.5 davor...

07.09.2009, 17:09

Eva-S

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RE: Integration durch Substitution
Es sollte natürlich so da stehen:

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{x} \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \Rightarrow dx = du \cdot 2 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Nun substituiere ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{sin2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{sin2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx = \int_{}^{}\frac{sin2\cdot u}{u}~ du \cdot 2 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Und nun?

07.09.2009, 17:28

AD

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Oh nein, nicht nochmal:

Integration durch Substitution

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07.09.2009, 17:31

Eva-S

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Oh nein, nicht nochmal:

Integration durch Substitution

Da man ja manchmal einen "Anschiss" hier bekommt, wenn man anderen in die Aufgaben hineinredet, habe ich extra diesen Thread aufgemacht.

unglücklich

unglücklich

07.09.2009, 17:36

AD

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Ich spreche ja auch gar nicht von "hineinreden". Sondern davon, dass der Lösungsweg dort in aller Ausführlichkeit bereits steht. Wenn du das schon gesehen hast, umso schlimmer, dass du da nochmal die Aufgabe hier stellst.

07.09.2009, 17:40

Eva-S

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Der besagte Thread ist ja sowas von unübersichtlich, da brauche ich ja eine Woche um das nachzuvollziehen. Wink

Wink

07.09.2009, 17:41

AD

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Na, wie du denkst. Nur so viel:

Es ist völlig legitim, in anderen Threads zu posten, wenn man haargenau dieselbe Aufgabe zu lösen hat. Die Threads sind hier themenbezogen, nicht personengebunden. unglücklich

unglücklich

07.09.2009, 17:44

Fünkchen

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RE: Integration durch Substitution
Die Wurzel von x kommt vor das Differenzial und nicht dahinter. Dann die Wurzel kürzen. Danach muss man

$\begin{eqnarray*} \int f(mx+n) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{m} \int f(z) \,\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$

benutzen.

07.09.2009, 17:45

Eva-S

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Nun, ich hatte doch extra geschrieben, dass ich hier einfach aus Interesse mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ substituieren wollte.

07.09.2009, 18:04

Eva-S

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Hier eine ähnliche Aufgabe zur Erläuterung. Hier kann ich "passend" kürzen.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{(1+x^2)^2} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=1+x^2, \frac{du}{dx} = 2x, dx = \frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

Integralsubstitution:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{(1+x^2)^2} ~dx = \int_{}^{}~\frac{x}{u^2}\cdot \frac{du}{2x}= \frac{1}{2}\cdot \int_{}^{}~\frac{1}{u^2}~du = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$

Also insgesamt nach Rücksubstitution:
$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mein Anliegen ist nun etwas verständlicher geworden und ich hoffe die Aufgabe oben ist so überhaupt korrekt!?

07.09.2009, 18:05

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Eva-S
Nun substituiere ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{sin2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx \end{eqnarray*}$

Und so geht es:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{sin(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 2 \cdot \int~sin(2\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~dx \end{eqnarray*}$

Den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt x}~dx \end{eqnarray*}$ kannst du jetzt bequem durch "du" ersetzen. smile

smile

07.09.2009, 18:51

Eva-S

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RE: Integration durch Substitution
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{sin(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 2 \cdot \int~sin(2\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~dx = 2 \cdot \int~sin(2u) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~2 \sqrt x du = 2 \cdot \int~sin(2u) \cdot ~du = -2 \cdot cos (2u) = -2\cdot cos(2 \sqrt x) \end{eqnarray*}$

So ?

07.09.2009, 18:55

Mistmatz

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Nein. Gleicher Fehler wie im anderen Thread.
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int{\sin{(2x)}\text{ }dx}\ne-2\cdot \cos{(2x)} + c \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 19:47

Eva-S

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RE: Integration durch Substitution
$\begin{eqnarray*} = -2 \cdot cos (2u) \cdot 2 = -4\cdot cos(2 \sqrt x) \end{eqnarray*}$

So müsste es jetzt stimmen?

Also im letzten Schritt erneut innere mal äußere Ableitung? Korrekt?

07.09.2009, 20:00

Mistmatz

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RE: Integration durch Substitution
Nein.

Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{sin(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 2 \cdot \int~sin(2\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~dx = 2 \cdot \int~sin(2u) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~2 \sqrt x du = 2 \cdot \int~sin(2u) \cdot ~du = -2 \cdot cos (2u) = -2\cdot cos(2 \sqrt x) \end{eqnarray*}$

So ?

Der Fehler ist im vorvorletzten auf den vorletzten Schritt, denn $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int{\sin{(2u)}~du}\ne-2 \cdot \cos{(2u)} \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 20:03

Eva-S

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Ich müsste hier ein zweites Mal substituieren, richtig?

Wie schreibe ich das nun am besten auf?
Also so wie man es in einer Klausur aufschreiben würde?

Nun habe ich ja kein X mehr sondern ein u was erneut substituiert werden muss.
Eine Doppelsubstitution finde ich hier in meinen Aufzeichnungen nicht.

Könntest Du mir helfen?

07.09.2009, 20:12

Mistmatz

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Das mit dem Substituieren hab ich im anderen Thread auch vorgeschlagen, geht aber auch einfacher.
Also, wenn du substituieren willst, dann setze $\begin{eqnarray*} t=2u\Leftrightarrow u=\frac{1}{2}t \end{eqnarray*}$

Oder aber, du überlegst dir Folgendes: Als Ableitung soll rauskommen: $\begin{eqnarray*} 2\cdot\sin{(2u)} \end{eqnarray*}$ Wenn du nun aber so integrierst wie weiter oben, steht da $\begin{eqnarray*} -2\cdot\cos{(2u)}\cdot 2 \end{eqnarray*}$ (nachdifferenzieren). Mit was musst du nun multiplizieren, damit rauskommt, was du willst?

08.09.2009, 10:57

Eva-S

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RE: Integration durch Substitution
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{sin(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 2 \cdot \int~sin(2\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~dx = 2 \cdot \int~sin(2u) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~2 \sqrt x du = 2 \cdot \int~sin(2u) \cdot ~du = 2 \cdot (- \frac{1}{2}cos (2u) = -cos (2u) = cos(2\sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$

Das ist nun meine "aktuelle" Berechnung.

Ich habe jetzt einfach
$\begin{eqnarray*} \int~sin(2u) ~du \end{eqnarray*}$
umgewandelt in einer Nebenrechnung in
$\begin{eqnarray*} \int~sin(2x) ~dx \end{eqnarray*}$
und dort
$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}cos (2x) \end{eqnarray*}$
herausbekommen. Hier habe ich dann wieder das x durch ein u ersetzt und oben an der Stelle weiter gerechnet. Ist so sicherlich nicht unbedingt mathematisch aufgeschrieben, aber so ging es auch.

Ich meine in Büchern mal gesehen zu haben, dass die dann beim 2. Mal substituieren direkt mit anderen "Buchstaben" weitermachen und direkt "durchschreiben"!?!?

08.09.2009, 11:12

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Eva-S
Ist so sicherlich nicht unbedingt mathematisch aufgeschrieben, aber so ging es auch.

Also ich würde da jetzt nichts bemängeln wollen. smile

smile

Lediglich der Schritt $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int~sin(2\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~dx = 2 \cdot \int~sin(2u) \cdot \frac{1}{2 \sqrt x}~2 \sqrt x du \end{eqnarray*}$ könnte man etwas eleganter gestalten.

Denn aus $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt x} \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} du = \frac{1}{2 \sqrt x}~dx \end{eqnarray*}$ ist, so daß du in dem Integral den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt x}~dx \end{eqnarray*}$ direkt durch "du" ersetzen kannst.

08.09.2009, 12:13

Eva-S

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von klarsoweit
Denn aus $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt x} \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} du = \frac{1}{2 \sqrt x}~dx \end{eqnarray*}$ ist, so daß du in dem Integral den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt x}~dx \end{eqnarray*}$ direkt durch "du" ersetzen kannst.

Ich habe es mir so angewöhnt, das es im "Papula", meinem Buch immer so gemacht ist, zunächst nach dx aufzulösen, dieses dann im Integral zu ersetzen und dann zu kürzen.

Ich denke den Schritt meinst Du, oder?

08.09.2009, 12:48

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution
Genau. Im Prinzip ist das auch ok so. Es ging mir ja auch nur um die formale Eleganz. Die sofortige Substitution entspricht eben mehr der Substitutionsregel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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