Partielle Integration

05.09.2009, 12:23

kanarienvogel78

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Partielle Integration

Die Partielle Integration ist mir leider genauso wenig wohlgesonnen wie die Substitution :-(

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int^{\frac{\pi}{2}}_0sin^3xdx \end{eqnarray*}$

komme ich da weiter mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin^2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2sinx*cosx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=-cosx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=sinx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [sin^2x*(-cosx)]^{\frac{\pi}{2}}_0-\int^{\frac{\pi}{2}}_02sinx*cosx*(-cosx) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} [sin^2x*(-cosx)-sinx^2*(-sinx)]^{\frac{\pi}{2}}_0?? \end{eqnarray*}$

05.09.2009, 12:30

AD

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Auch hier ist Substitution die bessere Wahl: Beachtet man den trigonometrischen Pythagoras $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = 1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ , dann ist die Substitution $\begin{eqnarray*} u=\cos(x) \end{eqnarray*}$ für

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} ~ \sin^3(x) ~ \dd x = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} ~ (1-\cos^2(x)) \cdot \sin(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

offenbar gut passend.

06.09.2009, 09:32

kanarienvogel78

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Partielle Integration
Ich soll diese Aufgabe explizit durch partielle Integration und nicht durch Substitution lösen - damit ich Dich richtig verstehe: Du machst mir den Vorschlag, ich möge $\begin{eqnarray*} f(x)=1-cos^2x \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} g'(x)=sinx \end{eqnarray*}$ setzen?

06.09.2009, 12:30

Romaxx

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RE: Partielle Integration

Zitat:

Original von kanarienvogel78

$\begin{eqnarray*} [sin^2x*(-cosx)]^{\frac{\pi}{2}}_0-\int^{\frac{\pi}{2}}_02sinx*cosx*(-cosx) \end{eqnarray*}$

Das ist bis hierher ok.

Behandle $\begin{eqnarray*} 2\cdot\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin(x)\cdot cos(x)^2 ~\dd x \end{eqnarray*}$ nun gesondert, indem du einfach noch einmal partiell integrierst.

Gruß

06.09.2009, 17:42

riwe

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RE: Partielle Integration
nun (auch/wieder) hier:

mit $\begin{eqnarray*} cos^2x=1-sin^2x \end{eqnarray*}$ kommst du nach einmaliger partieller integration auf:

$\begin{eqnarray*} I=-cosx\cdot sin^2x+2\int_{}^{}~sinx~dx -2I \end{eqnarray*}$

(I bedeutet das angegebene integral)

was sogar stimmen dürfte smile

smile

07.09.2009, 12:13

kanarienvogel78

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Partielle Integration
Dass die Antwort besser zu dieser Aufgabe passt, habe ich so ganz schwach auch schon geargwöhnt ;-)

Kannst Du das bitte nochmal ganz langsam für die Anfänger machen - ich habe grade erst mühsam gelernt, dass man die Integralfunktion in f(x) und g'(x) aufdröseln und sich dann noch f'(x) und g(x) zusammensammeln soll.

Was ist bei Dir jetzt f(x) und g'(x)?

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07.09.2009, 20:34

Mistmatz

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Also: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin^3{x} \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \int_a^b{u(x)\cdot v'(x)~dx}=\left[u(x)\cdot v(x)\right]_a^b-\int_a^b{u'(x)\cdot v(x)~dx} \end{eqnarray*}$

f(x) kannst du aufdröseln in: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin^3{x}=\sin^2{x}\cdot\sin{x} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} u(x)=\sin^2{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x)=\sin{x} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} u'(x)=2\sin{x}\cdot\cos{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x)=-\cos{x} \end{eqnarray*}$

Für das Integral gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^2{x}\cdot\sin{x}~dx}&=\left[-\sin^2{x}\cdot\cos{x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}{2\sin{x}\cdot\cos{x}\cdot\left(-\cos{x}\right)~dx}<br /> &=\left[-\sin^2{x}\cdot\cos{x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}\cdot\cos^2{x}~dx} \end{eqnarray*}$

Nun gilt nach dem trigonometrischen Pythagoras: $\begin{eqnarray*} \sin^2{x}+\cos^2{x}=1\Leftrightarrow\cos^2{x}=1-\sin^2{x} \end{eqnarray*}$

Wenn du das jetzt ins hintere Integral einsetzt, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx}&=\left[-\sin^2{x}\cdot\cos{x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}\cdot\left(1-\sin^2{x}\right)~dx}<br /> &=\left[-\sin^2{x}\cdot\cos{x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}~dx}-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx} \end{eqnarray*}$

Fällt dir was auf, wenn du ganz nach rechts und dann ganz nach links schaust?

Ich hoffe, das war nicht zu sehr an einer Komplettlösung... smile

smile

[Edit 1: Hab die Gleichungen etwas übersichtlicher gemacht. So sehen zwar die Integralzeichen aus wie A&F, aber was soll's... Wink

Wink

]
[Edit 2: Fehler in der letzten Zeile ausgebessert. Jetzt stimmt's (Danke an Eva-S)]

08.09.2009, 11:21

Eva-S

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Zweit Fragen hierzu:

Müsste es am Ende nicht so lauten? (Also beide Integrale multipliziert mit 2?

$\begin{eqnarray*} =\left[-\sin^2{x}\cdot\cos{x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}~dx}-2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx} \end{eqnarray*}$

Nachdem man das jetzt so gerechnet hat, dreht man sich ja nun im Kreis ein wenig, oder?

Um hier nicht in die aktive Aufgabe hineinzufuschen, gerne auch ein Hinweis per Message.

08.09.2009, 11:46

sergej88

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ja da müsste eine 2 stehen.

und ne man dreht sich nicht im kreis. darum sagte mistmatz ja auch man schaue sich beide gleichungen genau an Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg.

08.09.2009, 12:23

kanarienvogel78

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Partielle Integration
Ich muss wohl irgendwie zu doof sein unglücklich

unglücklich

Bekomme ich dann

$\begin{eqnarray*} 3*\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin^3x~dx~~=~~[-sin^2x*cosx]^{\frac{\pi}{2}}_0~+~2*[-cosx]^{\frac{\pi}{2}}_0 \end{eqnarray*}$

und teile die ganze Gleichung erstmal durch 3?

08.09.2009, 12:26

Mistmatz

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Wie kommst du auf die 3?

Rechne einfach beide Seiten $\begin{eqnarray*} +\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx} \end{eqnarray*}$

[Edit: Mein Fehler. Das muss natürlich heißen $\begin{eqnarray*} +2\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx} \end{eqnarray*}$ . Hab's oben ausgebessert. Deine 3 ist richtig.]

08.09.2009, 12:52

DarthVader

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ich hab mir den thread zwar jetzt nicht ganz durchgelesen, aber vielleicht sollte der fragensteller ab und zu mal die suchfunktion benutzen, das spart zeit und macht vielleicht einiges im vorhinein deutlich:

siehe hier (Partielle Integration trogonometrischer Funktion)

08.09.2009, 13:00

Mistmatz

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Zitat:

Original von DarthVader
ich hab mir den thread zwar jetzt nicht ganz durchgelesen, aber vielleicht sollte der fragensteller ab und zu mal die suchfunktion benutzen, das spart zeit und macht vielleicht einiges im vorhinein deutlich

Oder verwirrt nur noch mehr. Ich finde die Erklärung in deinem Thread mehr als nur verwirrend unglücklich

unglücklich

. Hätte ich diese Frage gehabt, die Suchfunktion genutzt, deinen Thread gefunden und ihn mir durchgelesen, hätte ich auch ohne Umwege die Frage nochmal gestellt... unglücklich

unglücklich

08.09.2009, 13:25

DarthVader

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das sehe ich anders: mit jaques letzem beitrag in meinem thread und arthur dent beitrag in diesem thread lässt sich die aufgabe zweifelsohne lösen.

@kanarienvogel78:
du kannst auch noch andere integrationsregeln außer der partiellen integration verwenden, dafür gibt es keinen punktabzug, solange du zeigst, dass du auch die partielle integration anwendest und anschließend substituierst und dann noch das richtige ergebnis hast bekommst du die volle punktzahl.

08.09.2009, 14:04

Eva-S

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RE: Partielle Integration

Zitat:

Original von Mistmatz
Wie kommst du auf die 3?
[/latex]

Ich denke er hat $\begin{eqnarray*} 2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx} \end{eqnarray*}$ addiert und auf "die linke Seite gebracht", um dann von

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx} =\left[-\sin^2{x}\cdot\cos{x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}~dx}-2\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}~dx} \end{eqnarray*}$

auf
$\begin{eqnarray*} 3*\int^{\frac{\pi}{2}}_0sin^3x~dx~~=~~[-sin^2x*cosx]^{\frac{\pi}{2}}_0~+~2*[-cosx]^{\frac{\pi}{2}}_0 \end{eqnarray*}$

zu kommen!

08.09.2009, 14:10

Mistmatz

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Oha

geschockt

da stand ja zwei mal das Ganze...
Na dann ist die drei richtig!!!
Werd's oben gleich ausbessern

09.09.2009, 12:16

kanarienvogel78

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Partielle Integration
Und dann einfach nur noch ausrechen?

$\begin{eqnarray*} \int^\frac{\pi}{2}_0sin^3x~dx~~=~~[\frac{1}{3}*(sin^2x*cosx)+\frac{2}{3}*(-cosx)]^\frac{\pi}{2}_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =~~(\frac{1}{3}*(0*1))+(\frac{2}{3}*(-1))-(\frac{1}{3}(0*1)+\frac{2}{3}*(-1))~~=~~0-\frac{2}{3}-0+\frac{2}{3}~~=~~0~~? \end{eqnarray*}$

09.09.2009, 12:43

Mistmatz

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Nicht ganz. $\begin{eqnarray*} \cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0 \end{eqnarray*}$

D.h.: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{3}\cdot 0\cdot 1\right)+\left(\frac{2}{3}\cdot 0\right)-... \end{eqnarray*}$

09.09.2009, 14:10

Eva-S

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laut http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=(sin(x))^3&random=false kommt das hier (ohne Integrationsgrenzen) heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} ( cos (3x) -9 cos (x)) \end{eqnarray*}$

Edit:
Rein aus Interesse: Ist das Endergebnis eventuell - 2 / 3 ?
Ist das korrekt?

09.09.2009, 14:35

Mistmatz

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@ Eva-S: Das ist das Selbe, nur anders umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}(\cos{(3x)}-9cos{x})=\frac{1}{12}(\cos{(2x+x)}-9\cos{x})=... \end{eqnarray*}$

Additionstheorem:
$\begin{eqnarray*} ...=\frac{1}{12}(\cos{(2x)}\cdot\cos{x}-\sin{(2x)}\cdot\sin{x}-9\cos{x})=... \end{eqnarray*}$

Doppeltes Winkelmaß auflösen und zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}((1-2sin^2{x})\cdot\cos{x}-2\sin^2{x}\cdot\cos{x}-9\cos{x})=\frac{1}{12}(-4\sin^2{x}\cdot\cos{x}-8\cos{x})=-\frac{1}{3}\sin^2x\cdot\cos{x}-\frac{2}{3}\cos{x} \end{eqnarray*}$

[Edit: Jetzt seh ich erst: Kanarienvogel hat bei seiner Stammfunktion ganz vorne ein Minus vergessen...]

10.09.2009, 11:37

kanarienvogel78

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Partielle Integration
Mein Taschenrechner hat eine Fehlfunktion, wie ich grade feststelle - der zeigt mir für jeden sin = 0 an und für jeden cos = 1 - muss mir wohl mal einen neuen zulegen... Oder mein Köpfen benutzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Erinnere ich das richtig: $\begin{eqnarray*} sin0=0,~sin\frac{\pi}{2}=1,~cos0=1~und~cos\frac{\pi}{2}=0~~? \end{eqnarray*}$

Ein Minuszeichen verliere ich leider schnell mal...

Es muss natürlich so sein: $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{3}*(-sin^2x*cosx)+\frac{2}{3}(-cosx)]^\frac{\pi}{2}_0 \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} ((\frac{1}{3}*1*0)+(\frac{2}{3}*0))-((\frac{1}{3}*0*1)+(\frac{2}{3}*(-1)))~~=~~0+0-0+\frac{2}{3}~~=~~\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Oder habe ich da schon wieder was verloren, weil Eva meinte, das Ergebnis sei -2/3?

10.09.2009, 13:43

Mistmatz

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RE: Partielle Integration

Zitat:

Original von kanarienvogel78
Erinnere ich das richtig: $\begin{eqnarray*} sin0=0,~sin\frac{\pi}{2}=1,~cos0=1~und~cos\frac{\pi}{2}=0~~? \end{eqnarray*}$

Alles richtig Freude

Freude

Zitat:

Oder habe ich da schon wieder was verloren, weil Eva meinte, das Ergebnis sei -2/3?

Nein, passt alles. Das Ergebnis ist 2/3 (positiv) Freude

Freude

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