Winkelberechung im Tetraeder

23.09.2006, 14:29

joonasch

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Winkelberechung im Tetraeder

Hallo,

Gegeben sind die Punkte Q1 (-1/11/-5), Q2 (8/11/4), Q3 (8/2/-5).

1.)
a) Wie kann ich zeigen, dass Q4 (11/14/-8) senkrecht zu den Seiten des Dreiecks Q1Q2Q3 steht?
-> In den letzten Tagen hatten wir gelernt den Punkt Q4 für die Ergänzung von einem Dreieck zu einem Quadrat ausrzurechnen; die Rechenmethode kann hier aber nicht angewendet werden oder?
b) Was folgt daraus?
c) Was fehlt noch zum Nachweis, dass Q1-Q4 einen regelmäßigen Tetraeder bilden?

2.)
Berechnen Sie die Winkel zwischen der Höhe im Tetraeder und den Kanten.
-> wie bekomme ich die Höhe meines Tetraeders raus?

Danke für euer Hilfe Freude

Freude

23.09.2006, 14:46

sqrt(2)

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RE: Winkelberechung im Tetraeder

Zitat:

Original von joonasch
a) Wie kann ich zeigen, dass Q4 (11/14/-8) senkrecht zu den Seiten des Dreiecks Q1Q2Q3 steht?

Gar nicht. "Punkt steht senkrecht zu Strecke" ergibt keinen Sinn. Wenn man so will, steht jeder Punkt senkrecht zu jeder Geraden. Dass es sich hier um Strecken handelt, macht das alles meiner Meinung nach nicht viel besser.

Wie lautet die Aufgabe genau?

23.09.2006, 15:09

Bjoern1982

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Da stimme ich sqrt2 vollkommen zu.

Sinn machen würde die Aufgabe nur dann, wenn danach gefragt wäre wie man beweisen kann dass eine Lotgerade durch den Punkt Q4, welche senkrecht durch das Dreieck verläuft, zu allen Dreicksseiten senkrecht steht.

Da wäre das Stichwort dann Normalenvektor.

Das würde dann auch im Hinblick auf die noch kommenden Teilaufgaben sehr wahrscheinlich sein.

Gruß Björn

23.09.2006, 15:42

joonasch

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RE: Winkelberechung im Tetraeder

Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von joonasch
a) Wie kann ich zeigen, dass Q4 (11/14/-8) senkrecht zu den Seiten des Dreiecks Q1Q2Q3 steht?

Gar nicht. "Punkt steht senkrecht zu Strecke" ergibt keinen Sinn. Wenn man so will, steht jeder Punkt senkrecht zu jeder Geraden. Dass es sich hier um Strecken handelt, macht das alles meiner Meinung nach nicht viel besser.

Wie lautet die Aufgabe genau?

Mir ist ein Tippfehler unterlaufen.
Richtig heisst die Aufgabenstelleung nun:
a) Wie kann ich zeigen, dass SQ4 (6/6/-6) senkrecht zu den Seiten des Dreiecks Q1Q2Q3 steht?
-> S (5/8/-2) ist der Schwerpunkt (WAS IST DAS?!?) des Dreiecks Q1Q2Q3

23.09.2006, 15:51

sqrt(2)

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RE: Winkelberechung im Tetraeder

Zitat:

Original von joonasch
a) Wie kann ich zeigen, dass SQ4 (6/6/-6) senkrecht zu den Seiten des Dreiecks Q1Q2Q3 steht?

Indem du mittels des Skalarprodukts zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{SQ_4} \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Q_1Q_2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Q_2Q_3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Q_3Q_4} \end{eqnarray*}$ steht.

Zitat:

Original von joonasch
-> S (5/8/-2) ist der Schwerpunkt (WAS IST DAS?!?) des Dreiecks Q1Q2Q3

Wenn du das Dreieck in Pappe ausschneidest, und versuchst es auf einer Bleistiftspitze zu balancieren, musst den den Bleistift an den Punkt S setzen. Mathematisch ist das der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

23.09.2006, 16:01

joonasch

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danke für eure Hilfe Freude

Freude

Freude

zwei Fragen bleiben mir noch unklar:

a) Was fehlt noch zum Nachweis, dass Q1-Q4 einen regelmäßigen Tetraeder bilden?

b)
Berechnen Sie die Winkel zwischen der Höhe im Tetraeder und den Kanten.
-> wie bekomme ich die Höhe meines Tetraeders raus?

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23.09.2006, 16:06

Bjoern1982

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zu a)

Läge ein regelmäßiges Tetraeder vor, würden die Spitze, also Q4 und der Schwerpunkt S des Dreiecks genau übereinander liegen.

Der Vektor durch S und Q4 wäre somit.....

zu b)

Höhe= Abstand vom Punkt Q4,also der Spitze, zur Ebene, welche durch die Eckpunkte des Dreiecks festgelegt ist

Gruß Björn

23.09.2006, 16:18

joonasch

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Zitat:

Original von Bjoern1982

zu b)

Höhe= Abstand vom Punkt Q4,also der Spitze, zur Ebene, welche durch die Eckpunkte des Dreiecks festgelegt ist

Gruß Björn

Das heisst ich müsste folgendes rechnen, um z.B. den Winkel zwischen Höhe und der Kante Q1 zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \vec{Q4} \cdot \vec{Q1} : \mid \vec{Q4} \mid \cdot \mid \vec{Q1} \mid \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

23.09.2006, 16:23

Bjoern1982

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Edit:

Du musst dir erstmal überlegen durch welchen Vektor du die Höhe bilden kannst. Der Ortsvektor zum Punkt Q4 ist nicht die richtige Wahl.

23.09.2006, 16:36

joonasch

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neulich bei der Höhenberechnung einer Pyramide musste ich $\begin{eqnarray*} \mid \vec{MQ5} \mid \end{eqnarray*}$ rechnen um die Höhe der Pyramide zu bekommen.
Kann ich hier evtl. genauso vorgehen??
Wenn nicht bitte ich um weitere Tipps Gott

Gott

Danke

Freude

23.09.2006, 16:39

Bjoern1982

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Durch welche Punkte geht die Höhe denn hier ?

23.09.2006, 16:47

joonasch

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Durch welche Punkte geht die Höhe denn hier ?

wie du oben schon geschrieben hast, geht die Höhe durch die Ebene, die durch die drei Punkte Q1Q2Q3 gebildet werden.

verwirrt

verwirrt

23.09.2006, 16:50

Bjoern1982

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Hehe, das ist schon richtig, ja.

Nur kann man das schon etwas präziser sagen.

3 Posts von mir darüber hab ichs ja schon fast verraten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weisst du jetzt was ich meine ?

23.09.2006, 16:54

joonasch

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Da wäre das Stichwort dann Normalenvektor.

verwirrt

verwirrt

23.09.2006, 16:56

Bjoern1982

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Zitat:

Läge ein regelmäßiges Tetraeder vor, würden die Spitze, also Q4 und der Schwerpunkt S des Dreiecks genau übereinander liegen.

23.09.2006, 17:05

joonasch

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ehrlichgesagt weiss ich immer noch nicht wie ich die Höhe jetzt ausrechnen kann unglücklich

unglücklich

verwirrt

23.09.2006, 17:10

Bjoern1982

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Du brauchst sie auch nicht ausrechnen für die Bestimmung der Schnittwinkel.

Du brauchst lediglich den Vektor durch Q4 und S.

Und dann deine Schnittwinkelformel darüber jagen.

Gruß Björn

23.09.2006, 17:18

joonasch

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also:

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \vec{SQ4} : \mid \vec{Q1} \mid \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

23.09.2006, 18:02

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} \vec{SQ_4} \end{eqnarray*}$ ist schonmal gut, das ist der "Höhenvektor".

Jetzt musst du halt noch Vektoren bilden , die die Kanten des Tetraeders darstellen.

Und zur Berechnung des Winkels zweier Vektoren a und b benutzt du dann diese Formel:

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha )=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

23.09.2006, 18:13

joonasch

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Jetzt musst du halt noch Vektoren bilden , die die Kanten des Tetraeders darstellen.

z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{Q1Q2} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

23.09.2006, 18:24

Bjoern1982

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Ich habe dir mal eine Skizze angehängt.
Die blauen Seiten sind die in Frage kommenden Kanten.

23.09.2006, 18:33

joonasch

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liege ich dann richti mit:

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha )=\frac{\vec{SQ4} \cdot \vec{Q1}}{|\vec{SQ4} \cdot \vec{Q1}|} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

23.09.2006, 18:56

Bjoern1982

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Was soll den der Vektor Q1 darstellen?

Raten bringt ja nicht so viel...

Sag doch dass du nicht weisst wie man einen Vektor aus zwei Punkten aufstellt - is ja kein Problem.

Oder ist dir gar nicht klar um welche Winkel es hier überhaupt geht?

Beispiel:

Es geht z.B. um den Winkel zwischen der Kante, durch die Punkte Q1 und Q4, und des Höhenvektors durch die Punkte Q4 und S.
Das wäre schonmal einer der insgesamt drei zu berechnenden Winkel.

Kommst du jetzt klar?

23.09.2006, 19:08

joonasch

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Sag doch dass du nicht weisst wie man einen Vektor aus zwei Punkten aufstellt - is ja kein Problem.

Der Vekor von Q1 (-1/11/-5) und Q4 (11/14/-8) ist doch $\begin{eqnarray*} \vec{Q1Q4} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder verwirrt

verwirrt

Das der Höhenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{SQ4} \end{eqnarray*}$ ist habe ich auch schon verstanden, nur wie setze ich diese Werte jetzt in die Formel um/ein verwirrt

verwirrt

23.09.2006, 19:36

Bjoern1982

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So, jetzt hast du ja die richtigen Vektoren Freude

Freude

Ich habe etwas in der Formel zur Berechnung der Schnittwinkel vergessen - so ist es richtig :

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha )=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \end{eqnarray*}$

Entschuldige bitte geschockt

geschockt

Im Zähler musst du nun das Skalarprodukt der beiden Vektoren bilden (als Ergebnis entsteht dann eine Zahl.
Im Nenner musst du jeweils die Länge eines Vektors berechnen und diese Längen dann mit einander multiplizieren.

Die Länge eines (dreidimensionalen) Vektors a ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} |\vec{a}|= |\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} | =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe du kommst jetzt klar.

Bin jetzt erst mal bis morgen weg.

Viel Erfolg noch bei der Aufgabe smile

smile

Gruß Björn

24.09.2006, 12:28

joonasch

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danke für deine Auflistung Freude

Freude

habe folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha )=\frac{\vec{SQ4} \cdot \vec{Q1Q4}}{|\vec{SQ4}| \cdot |\vec{Q1Q4}|} = \frac{{108} }{132,24} = 0,8166 = 35,24° \end{eqnarray*}$

Als nächstes soll ich nun die Winkel zwischen der Höhe im Tetraeder und den Flächen bestimmen.
-> wie errechne ich mit meinen Punkten Q1-Q4 die Fläche??

Danke Freude

Freude

Grüße Jonas

24.09.2006, 17:06

Bjoern1982

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Das wäre schonmal ein Schnittwinkel - fehlen noch 2 weitere, da es ja noch zwei weitere Seitenkanten gibt, die mit der Höhe einen Winkel einschließen.

Desweiteren würde ich dir empfehlen, nie mit gerundeten Werten zu arbeiten.
Wenn du im Nenner nicht bloß alles einfach in den Taschenrechner eingibst erhälst du durch teilweises Wurzelziehen $\begin{eqnarray*} 54\cdot \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ im Nenner, was man ja dann prima mit der 108 im Zähler kürzen kann.

Die weitere Schnittwinkelberechnung entspricht einer Schnittwinkelberechnung zwischen einer Ebene (festgelegt durch die jeweilige Dreieicksseite des Tetraeders) und einer Geraden (Höhenvektor).
Die Formel dafür wirst du doch mit Sicherheit auch schon gehabt habe oder?

Gruß Björn

24.09.2006, 17:16

joonasch

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Die Formel dafür wirst du doch mit Sicherheit auch schon gehabt habe oder?

Glaube nicht das wir die Formel schon mal gehabt haben unglücklich

unglücklich

, könntest du sie mir bitte verraten Gott

Gott

Mit der Grundflächenformel also a*b*c hat sie nicht zutun oder verwirrt

verwirrt

danke

Freude

24.09.2006, 17:29

Bjoern1982

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Bin heute ein bisschen faul...

Hier stehts auch:

http://sites.inka.de/picasso/Schnurr/Schnittwinkel.html

Aber irgendwie glaub ich dir nicht, dass dein Lehrer voraussetzt, dass ihr etwas machen sollt was vorher noch nicht im Unterricht dran war verwirrt

verwirrt

Oder haste vielleicht nicht mitgeschrieben?

Gruß Björn

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