Matrizengleichungen

05.09.2009, 15:27

craxx

Matrizengleichungen

Hallo,

ich sitze gerade an meinen Mathe-Hausaufgaben und komme einfach nicht weiter. Ich fühle mich halbwegs sicher, was das umformen nach X bei Matrizengleichungen angeht, allerdings habe ich bei bestimmten Termen noch Probleme. Deswegen wollte ich hier einfach mal nachfragen, ob ihr mir kurz dabei helfen könnt.

Die Aufgabe ist, dass ich nach Matrix X umformen soll. Matrix A, B, C, D sind gegeben.

Folgende Gleichung:

X*A*B-A=X*C+D

Ich würde zunächst das A mit +A herüberholen.

X*A*B=X*C+(D+A)

Nun das X*C rüber, also -X*C

X*A*B-X*C=D+A

Nun würde ich ausklammern, ergo:

X*(A*B-C)=D+A

Und nun die Klammer auf der linken Seite mit der invertierten Klammer multiplizieren, so dass sie wegfällt.

X*(A*B-C)*(A*B-C)^-1=(D+A)*(A*B-C)^-1

Also:

X=(D+A)*(A*B-C)^-1

Ist das so richtig oder mache ich da noch gravierende Fehler, bedenke ich irgendetwas nicht oder denk ich noch zu "linear"?

MfG, craxx

05.09.2009, 15:34

Nubler

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kürzungsregel und distributivgesetz stellen kein prob dar.
jedoch musst du vor verwenden der inversen erst deren existenz zeigen.

05.09.2009, 15:38

craxx

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Zitat:

Original von Nubler
kürzungsregel und distributivgesetz stellen kein prob dar.
jedoch musst du vor verwenden der inversen erst deren existenz zeigen.

Ja, die sind alle invertierbar.

Ich denke mal der erste Satz sollte bedeuten, dass die Aufgabe richtig gelöst ist?

05.09.2009, 17:05

craxx

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Entschuldigt, dass ich nochmal nerve.

Aber mit dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht klar. Ich tippe einfahc mal den originalen Aufgabentext aus dem Buch ab.

"Die Matrizen A und X haben die Ordnung n und es existiert A^-1.

Zeigen Sie: Die Gleichung A*X=X*A hat als Lösungen X1=E; X2=0;X3=A;X4=A^-1 und X=a*X1+b*X2+c*X3+d*X4 mit a,b,c,d $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ich kann damit ehrlich gesagt erstmal herzlich wenig anfangen. Ich persönlich weiß auch garnicht wie ich hier nach X umformen soll?

Mein erster Versuch:

A*X=X*A

Das rechte A mit A^-1 rausbekommen, also

A*X*A^-1=X*A*A^-1

also

A*X*A^-1=X

Wenn ich jetzt das selbe mit dem A auf der linken Seite machen würde, wäre folgende Situation:

A^-1*A*X*A^-1=A^1*X

also

X*A^-1=A^-1*X

Wie zum Teufel komm ich denn bitte auf X1=E usw., bzw. wie bekomme ich überhaupt erstmal das X auf nur eine Seite??

05.09.2009, 18:36

Elvis

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Du versuchst, eine Gleichung zu lösen, indem du X als Variable auffasst. Vielleicht ist die Aufgabe ja auch viel einfacher gemeint. Berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} A*X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_i*A \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ . Was siehst du dann ? Und dann dasselbe für $\begin{eqnarray*} X_5=a*X_1+ ... \end{eqnarray*}$

05.09.2009, 18:49

Nubler

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um...
du sollst für die gegebenen X zeigen, dass [X,A]=0 ist

also für bel invertierbate A mit rang n soll für gegebene $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} X_iA-AX_i=0 \end{eqnarray*}$
setz deine $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ einfach mal ein und schau, ob ne wahre aussage rauskommt.

05.09.2009, 19:07

craxx

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Zitat:

Original von Elvis
Du versuchst, eine Gleichung zu lösen, indem du X als Variable auffasst. Vielleicht ist die Aufgabe ja auch viel einfacher gemeint. Berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} A*X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_i*A \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ . Was siehst du dann ? Und dann dasselbe für $\begin{eqnarray*} X_5=a*X_1+ ... \end{eqnarray*}$

Klar, ahhh, ich stand auf einem Schlauch. Die Aussage A*E=E*A ist natürlich wahr, genauso wie die Aussage A*0=0*A wahr ist. Alles klar, verstanden.

Es bezieht also im Grunde genommen nur auf den Wahrheitsgehalt der Aussage?

05.09.2009, 19:09

craxx

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Zitat:

Original von Nubler
um...
du sollst für die gegebenen X zeigen, dass [X,A]=0 ist

also für bel invertierbate A mit rang n soll für gegebene $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} X_iA-AX_i=0 \end{eqnarray*}$
setz deine $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ einfach mal ein und schau, ob ne wahre aussage rauskommt.

Ja, danke. Habs jetzt auch verstanden. Vielen Dank für die Hilfe.

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