Komplexe Nullstellen

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05.09.2009, 17:08	LtAldoRaine	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Nullstellen Hi, es geht um komplexe Nullstellen. Wenn ich sie in der Form $\begin{eqnarray} z^{n} = a \end{eqnarray}$ berechnen muss ist das kein Problem, da hab ich die allgemein übliche Formel (nte Wurzel aus r mal e hoch usw...) . In meinem speziellen Fall, der mich etwas verwirrt, habe ich folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} e^{-pip} = 1 \end{eqnarray*}$ wobei p eine komplexe Zahl ist. Ich habe mir überlegt p in Imaginär und Realteil aufzuspalten und dann das e hoch Realteil als Radius zu benutzen, allerdings komme ich dann nicht annähernd auf das Ergebnis meiner Lösung: pk = j2k mit k Element Z. Würde mich über ein paar Denkanstöße freuen!
05.09.2009, 17:43	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
wie hängen sinus, cosinus und die komplexe exponentialfunktion zusammen?
05.09.2009, 18:14	LtAldoRaine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, meine Gedanken waren: $\begin{eqnarray} p = Re[p] + iIm[p] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-pip} = e^{-piRe[p]}e^{-piIm[p]} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-piRE[p]}e^{-\|Im[p]\|} [cos(pi)+isin(pi)] = -e^{-\|Im[p]\|}e^{-piRE[p]} \end{eqnarray}$ ich hoffe du verzeihst mein grausames Latex ;D. Aber da häng ich halt jetzt. Der Umgang mit dieser komplexen Zahl macht mir etwas Schwierigkeiten, weil in den meisten Fällen ja nur der imaginärteil bei $\begin{eqnarray} e^{i(phi)} \end{eqnarray}$ vorhanden ist.
05.09.2009, 18:32	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
die dritte zeile.... fragen wir mal anders... wie schaut ne zahl in polarkoordinaten aus?
05.09.2009, 18:46	LtAldoRaine	Auf diesen Beitrag antworten »
x = rcos[phi] y = rsin[phi] wobei y die Imaginäre Koordinate is Hab da bisschen viel reingeschrieben , also das mit dem Imaginärteil Betragszeug ist falsch . Falls Im[p] = 5i oder so is, würde ja in diesem Falle einfach phi mit 5 multiplizert. War en kleiner Denkfehler von mir ^^. Das machts aber auch nicht leichter, denn dann hab ich ja irgend eine Konstante in phi stehen, oder?
05.09.2009, 18:54	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
des is die umwandlung von polar in karthesische koordinaten... k, andres beispiel: was ist die polardarstellung der zahl z=1+i ?
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05.09.2009, 19:03	LtAldoRaine	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag is $\begin{eqnarray} \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Phase is $\begin{eqnarray} \arctan(1/1) = 45° = pi/4 \end{eqnarray}$ Ergebnis is $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sqrt{2} e^{i(pi/4)} \end{eqnarray*}$
05.09.2009, 19:11	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
k, des is dir also bekannt. und du weisst auch, dass nach den exponentialgesetz gilt: $\begin{eqnarray} e^{a+ib}=e^ae^{ib} \end{eqnarray*}$ und dass soll 1 sein. was muss also a sein?
05.09.2009, 19:34	LtAldoRaine	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, dann wärs ja "gut" wenn a und b = 0 wären. Dann würde zumindest die Gleichung stimmen ^^. Ich glaub deine Frage trifft den Kern meines Unverständnisses .
05.09.2009, 19:43	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
a=0 muss sein. b=0 nicht. vervollständige folgende gleichung: $\begin{eqnarray} e^{i \cdot b}=cos\ldots \end{eqnarray}$
05.09.2009, 21:00	LtAldoRaine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} [\cos(b) + i\sin(b)] \end{eqnarray}$ Äh mein Problem ist aber jetzt doch das b im Beispiel = -piIm[p] ist. wenn ich jetzt im[p]=c setze, bekomme bekomme ich doch keine Werte für den Sin und cos raus (cpi). Kann ich c wie ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ behandeln und somit aus dem cos eine diskrete Folge machen? Edit (mY): LaTex verbessert. Keine Akzente in LaTex.
05.09.2009, 21:21	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
gleich... cos(b)+i*sin(b)=1 => b=?
05.09.2009, 21:41	LtAldoRaine	Auf diesen Beitrag antworten »
b müsste dann $\begin{eqnarray} 2pik \end{eqnarray}$ sein mit $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass der cos=1 bleibt und der sin= 0 (i fällt weg), oder?
05.09.2009, 23:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Nullstellen Die angegebene Lösung stimmt nicht ganz (im Vorzeichen; allerdings hat hier das Vorzeichen keine erhebliche Rolle; warum?). Übrigens ist die Trennung in Real- und Imaginärteil nicht notwendig. Die Lösung kann einfacher ermittelt werden, indem die rechte Seite der Gleichung als e-Potenz geschrieben wird und dann die Exponenten gleichgesetzt werden: $\begin{eqnarray} e^{-\pi p} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-\pi p} = e^{2k \pi i} , \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\pi p = 2k \pi i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = -2k i \end{eqnarray}$ mY+

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