normale Stetigkeit Hyperbel

05.09.2009, 21:02

Markus1987

normale Stetigkeit Hyperbel

Ich möchte mit dem Epsilon-Delta Kriterium zeigen, dass eine Hyperbel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ stetig ist. So weit bin ich gekommen. Ich weiss nicht wie es weiter geht.

Betrag von $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ ist kleiner als Delta und daraus soll folgen, dass der Betrag von $\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{x} \end{eqnarray*}$ kleiner als Epsilon ist. Ich habe einfach in die Definition von Stetigkeit die Stelle a durch 1 ersetzt. Ich vermute, dass ich nun irgendwas abschätzen muss, aber ich weiss nicht was.

thanks

05.09.2009, 22:29

Zellerli

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Du könntest doch zum Beispiel mal $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängig machen (und somit zeigen, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auch ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gefunden werden kann).

Da stehen natürlich die Beträge im Weg, aber du kannst ja Feststellungen machen wie sich die Beträge links und rechts von 1 verhalten und sie entsprechend umschreiben...

06.09.2009, 12:37

Markus1987

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Ich weiss leider trotzdem nicht wie ich nun konkret weiter gehen soll? Wie genau mache ich denn Delta von Epsilon abhängig? Muss ich dabei nicht aufpassen, dass ich die Abhängigkeit zur Stelle 1 nicht verlieren? Denn ich will ja gewöhnliche und nicht gleichmäßige Stetigkeit zeigen, auch wenn die gewöhnliche aus der gleichmäßigen folgen würde. Das wäre nicht die Aufgabe.

thanks

06.09.2009, 12:54

Romaxx

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$\begin{eqnarray*} \left|f(x)-f(1)\right|=\left|\frac{1}{x}-1\right|=\left|\frac{1}{x}-\frac{x}{x}\right|=\left|\frac{1-x}{x}\right|=\frac{\left|1-x\right|}{\left|x\right|}<\cdots \end{eqnarray*}$

Nun schätze mit Hilfe der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \left|1-x\right|<\delta \end{eqnarray*}$ geeignet ab.

06.09.2009, 14:36

system-agent

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Zitat:

Original von Markus1987
Ich weiss leider trotzdem nicht wie ich nun konkret weiter gehen soll? Wie genau mache ich denn Delta von Epsilon abhängig?

Gib einfach an, wie man dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen soll, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gegeben ist.
Ein Beispiel wäre [aber nicht für hier Augenzwinkern

]: $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Markus1987
Muss ich dabei nicht aufpassen, dass ich die Abhängigkeit zur Stelle 1 nicht verlieren?

Nein, die Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ geht schliesslich schon in $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)| \end{eqnarray*}$ ein und genau diesen Term schätzt du ja dann im weiteren ab.

Formal musst du nun angeben, wie du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählst, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Wie kannst du das finden?
Da folge dem Tipp von Romaxx.
Nochmal ein Tipp: $\begin{eqnarray*} |1-x|<\delta \end{eqnarray*}$ , das heisst $\begin{eqnarray*} -\delta<x-1<\delta \end{eqnarray*}$ ....

@Romaxx:
Man muss angeben wie man das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählt, man hat es nicht schon im Vorraus.

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