Komplexe Zahlen

05.09.2009, 22:44

sonic1889

Komplexe Zahlen

Hallo!

Ich habe mich vorbereitend auf mein Studium etwas mit Mathe beschäftigt und bin dabei auf komplexe Zahlen gestoßen. Dazu hätte ich eine Frage.

i^2= -1

Nun stand bei einem Beispiel 2i= Wurzel aus -4

Wie kommt man darauf?

05.09.2009, 22:48

IfindU

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RE: Komplexe Zahlen
Garnicht, sicher dass da nicht $\begin{eqnarray*} 2 \cdot i^2 = -2 \end{eqnarray*}$ stand?

05.09.2009, 23:03

sonic1889

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http://www.youtube.com/watch?v=7sgxZZ3CPgg&feature=related

Quatsch, sorry, die Wurzel aus -4=2i

So wird es im Video gezeigt. Verstehe es aber nicht ganz wie man drauf kommt.

05.09.2009, 23:07

IfindU

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Spalte es auf:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-4} = \sqrt{(-1)\cdot 4} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{4} \end{eqnarray*}$

Siehst du es nun?

05.09.2009, 23:09

sonic1889

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Dann würde es heiße 2* Wurzel aus -1?

05.09.2009, 23:16

IfindU

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Jop, und $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} = \sqrt{i^2} \end{eqnarray*}$ nach der Definition die du im ersten Post aufgeschrieben hast.

05.09.2009, 23:19

sonic1889

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Dann ist i=-1 aber wie komme ich auf 2i=-4?

05.09.2009, 23:23

IfindU

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i ist nicht gleich -1, und 2i ist nicht gleich -4.

Du hast soweit: $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{-1} = 2 \sqrt{i^2} \end{eqnarray*}$ . Zieh jetzt doch einfach die Wurzel, dann bist du doch schon fertig.

05.09.2009, 23:26

sonic1889

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ok danke!

07.09.2009, 08:53

klarsoweit

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Leider ist in diesen Beiträgen einiges an mathematischen Halbwahrheiten erzählt worden. Beispiel:

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-4} = \sqrt{(-1)\cdot 4} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{4} \end{eqnarray*}$

Wenn es so wäre, dann müßte auch gelten:

$\begin{eqnarray*} 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = i^2 = -1 \end{eqnarray*}$

Man identifiziert zwar gerne i mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ , aber auch in den komplexen Zahlen ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Es gibt allenfalls Lösungen der Gleichung x² = -1. Und diese sind i und -i.

In gleicher Weise hat die Gleichung x² = -4 2 Lösungen, nämlich 2i und -2i.

07.09.2009, 09:52

IfindU

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Stimmt schon Klarsoweit, aber ich sollte die Wahrheit der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-4} = 2i \end{eqnarray*}$ zeigen und nicht jede mögliche Lösung von $\begin{eqnarray*} x^2 =-4 \end{eqnarray*}$ angeben. Wobei wohl hätte erwähnen sollen, dass es mehr als eine Lösung gibt.

07.09.2009, 09:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von IfindU
Stimmt schon Klarsoweit, aber ich sollte die Wahrheit der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-4} = 2i \end{eqnarray*}$ zeigen

Und genau das stimmt eben nicht. Die Wurzel aus -4 ist eben nicht definiert. Desweiteren geht es mir auch um die Ungültigkeit der Gleichung, die ich in meinem vorigen Beitrag zitiert habe.

07.09.2009, 10:04

IfindU

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Okay, ich pass in Zukunft besser auf und lese mir bisschen Literatur dazu durch - andererseits fängt mein Studium bald an, dort werden die auch hoffentlich die Halbwahrheiten aus meinem Kopf verbannen. Forum Kloppe

07.09.2009, 10:30

Bakatan

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Dazu hätte ich jetzt doch gerne ein paar weitere Erklärungen.
Die Wurzel aus etwas ist doch definiert als das, was mit sich selbst multipliziert dieses etwas ergibt. Folglich ist i, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genau das Element, welches mit sich selbst multipliziert -1 ergibt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0*0-1*1 \\ 0*1+1*0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nach der definierten Multiplikation in den komplexen Zahlen. Und somit sollte $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ gelten.
Das "Wurzeln auseinander ziehen" ist jedoch in den komplexen Zahlen wie man offensichtlich sehen kann nicht möglich. Das ist auch meines Erachtens der "Trick" an obiger Gleichung. Der Rechenschritt des auseinander ziehen ist einfach nicht erlaubt.
Es gilt eben: $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-1)*(-1)}\not= \sqrt{-1}*\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 10:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bakatan
Die Wurzel aus etwas ist doch definiert als das, was mit sich selbst multipliziert dieses etwas ergibt.

Das ist einfach nicht eindeutig formuliert, denn (-1) * (-1) ergibt ebenso 1 wie 1 * 1 die 1 ergibt. Was davon soll also Wurzel aus 1 sein?

Zitat:

Original von Bakatan
Folglich ist i, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genau das Element, welches mit sich selbst multipliziert -1 ergibt:

Auch hier tust du so, als wäre damit i eindeutig definiert. Ist es aber nicht, denn auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erfüllt die verlangte Eigenschaft.

07.09.2009, 12:04

Bakatan

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Stimmt! Danke schon mal so weit. Trotzdem ist es mir noch etwas unklar. Ich zitiere hier mal die genauere Definition der Quadratwurzel wie sie mir beschrieben wurde:
"Zu jeder Zahl $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x²=a \end{eqnarray*}$ ; bezeichnet mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ."
Die genaue Definition der Wurzel im komplexen finde ich zwar im Moment nicht, ich denke aber, dass sie dementsprechend auch als Lösung nur die auf der "positiven imaginären Achse" nimmt ( sorry für die bescheuerte Schreibweise, was besseres fiel mir gerade nicht ein verwirrt

).
Nach meiner vorherigen Version wäre ja denke ich mal $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=\pm i \end{eqnarray*}$ und mit dem auslassen des einen Ergebnisses wäre es somit eindeutig definiert.

Es kann gut sein, dass mein Problem hier wieder die aus der Schule kommende idiotische Einführung in die komplexen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} i:=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ Probleme verursacht. Da Wolfram sowie Google jedoch bei der Frage nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ die Antwort $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ geben, denke ich, dass sich genaueres Nachfragen doch lohnen könnte.

07.09.2009, 12:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bakatan
Die genaue Definition der Wurzel im komplexen finde ich zwar im Moment nicht,

Die würde mich sehr interessieren. smile

Zitat:

Original von Bakatan
ich denke aber, dass sie dementsprechend auch als Lösung nur die auf der "positiven imaginären Achse" nimmt ( sorry für die bescheuerte Schreibweise, was besseres fiel mir gerade nicht ein verwirrt

Das würde vielleicht noch mit negativen reellen Zahlen gehen. Aber eine Wurzeldefinition in den komplexen Zahlen sollte schon für alle Zahlen funktionieren. Augenzwinkern

07.09.2009, 13:24

Bakatan

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Hm, für Quadratwurzeln sollte das eigentlich noch gehen, da immer noch nur zwei Lösungen für z²=w existieren und z1=-z2 ist.
Siehe dazu auch Wikipedia ( ist etwas weiter unten, der direkte Link zum Abschnitt funktionierte irgendwie nicht. "Quadratwurzel aus komplexen Zahlen" heisst der Abschnitt. )

Wenn die Wurzel im Komplexen wirklich auf keine Art und Weise definiert wäre, würde es ja bedeuten, dass sämtliche simplen Versuche Leuten die komplexen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} i:=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ näher zu bringen, nicht nur verständnismässig nicht fördernd sondern sogar mathematisch inkorrekt wären.

07.09.2009, 13:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bakatan
Hm, für Quadratwurzeln sollte das eigentlich noch gehen, da immer noch nur zwei Lösungen für z²=w existieren und z1=-z2 ist.

Aber welche von den beiden als Wurzel aus w genommen werden soll, ist immer noch nicht klar.

Zitat:

Original von Bakatan
Wenn die Wurzel im Komplexen wirklich auf keine Art und Weise definiert wäre, würde es ja bedeuten, dass sämtliche simplen Versuche Leuten die komplexen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} i:=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ näher zu bringen, nicht nur verständnismässig nicht fördernd sondern sogar mathematisch inkorrekt wären.

In der Tat. Man kann das Problem $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ allenfalls als Motivation für die Konstruktion der komplexen Zahlen nehmen. Mehr nicht.

07.09.2009, 14:34

Bakatan

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Ich dachte das ging sehr gut aus dem Wikipedia-Artikel hervor. Wolfram wiederum nimmt soweit ich es austesten konnte nur Lösungen aus dem 1. und 4. Quadranten. Scheint etwas wirr zu sein Big Laugh

Aber sehr interessant. Bisher habe ich mich immer nur über die Methode der Schule beschwert, da sie einem kein Verständnis über die komplexen Zahlen gab.
Zumindest $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=\pm i \end{eqnarray*}$ sollte aber doch eine mögliche Aussage sein ( unter der Annahme, man nimmt nur das "mit sich selbst multipliziert..." )? Ich denke aber die Einschränkung der Lösungsmenge, so dass nur eine herauskommt sollte eine akzeptable Methode sein? Zumindest wenn es eine konventionelle Definition dieser Art gibt...

edit: Soweit ich es im Moment sehe, gibt es mehrere Versionen, "Wurzel" im komplexen zu verwenden, und niemand ist sich einig welche denn nun sinnvoll wäre. Das geht von "wir nehmen beide Lösungen" über Wikipedia's "wir nehmen nur die mit IM(z)>0 oder IM(z)=0 && RE(z)>=0" zu Wolfram's "nur die mit RE(z)>=0"

07.09.2009, 16:07

Nubler

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und bei ner $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ten wurzel gibts immer noch massig probleme bei der einschränkung der bereiche

07.09.2009, 16:36

Bakatan

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Das die Einschränkung nicht sinnvoll ist glaube ich auch Big Laugh

Blos dachte ich es gäbe, ähnlich zu der Quadratwurzel in R, eine solche Einschränkung, welche Aussagen wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$ erlauben. Denn die habe ich mehr als oft gehört. Scheinbar gibt es die nicht und somit habe ich ziemlich oft Mist gehört.

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