Erwartungswert, Gleichverteilung

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nero12 Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert, Gleichverteilung
Hallo,

ich lese mich gerade ein wenig in Stochastik ein und bin auf folgende Aussage in einem Nebensatz gestoßen, die mir so nicht direkt klar ist:

Sind unabhängige, gleichverteilte Zufallsvariablen auf dem offenen Intervall , dann gilt für den Erwartungswert .

Ich weiß nicht, ob die Schreibweise standard ist: ist die Ordnungsstatistik, also die n-Zufallsvariablen sind nach ihrer Größe geordnet und meint den i-ten Wert.

Ich weiß gar nicht, ob man etwas beweisen muß oder ob mir das nur nicht klar ist - jedenfalls möchte ich es mir gerne klar machen Augenzwinkern

Also bei einer Gleichverteilung auf sollte ja gelten für ein aus diesem Intervall. Und es ist .

Ich habe mir mal an einem einfachen Beispiel überlegt: Wenn z.B. n=3 ist und U_i die Werte annehmen dann ist . Wenn ich das jetzt mit der Ordnungsstatistik mache erhalte ich . So wollte ich mir das (n+1) im Nenner erklären. Kann man daraus etwas machen oder sollte man es besser anders angehen? Glaube, ich stehe ein bischen auf der Leitung ...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert, Gleichverteilung
So plausibel das Ergebnis für auch ist, ein kurzer und transparenter Nachweis will mir nicht einfallen. Das bedeutet nicht viel, denn mit Ordnungsstatistiken hatte ich nie Kontakt.

Wenn man das 'straightforward' angeht, nimmt man sich die Verteilungsfunktion vor:



Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass das i-te Element der geordneten Stichprobe <= x ist. Das bedeutet, es müssen mindestens i Elemnte der Stichprobe <= x sein. Das ergibt:



Mit





sollte man das Ergebnis herleiten können. Das sieht allerdings nach etwas Arbeit aus. Vermutlich gibt es Abkürzungen, die mir aber partout nicht einfallen wollen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt zusätzlich auch nur die für die positive Zufallsgröße mögliche Variante ein, was dann hier zu



wird. Ist in der Berechnung vielleicht einen Tick kürzer. Augenzwinkern


P.S.: Kennt man zudem die Betafunktion, dann geht's ganz schnell.
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