Reihe - Konvergenz und Summe

06.09.2009, 14:49

ge88

Reihe - Konvergenz und Summe

Fuer welche $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^{k-1}} \end{eqnarray*}$ ? Man bestimme die Summe.

Die Reihe sollte fuer alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergent sein, aber wie bestimme ich den Wert - kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke!

06.09.2009, 15:23

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Ok, der Tipp lautet "Potenzgesetze anwenden":

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^{k-1}} = a^2 \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{a^2}{1+a^2} \right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

06.09.2009, 15:39

ge88

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^{k-1}} = a^2 \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{a^2}{1+a^2} \right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a^2 \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a^2}{1+a^2} \right)^k = a^2 \cdot \frac{1}{1-\frac{a^2}{1+a^2}} = a^2 \cdot (1+a^2) \end{eqnarray*}$

...echt hart unglücklich

Danke!

06.09.2009, 19:16

ge88

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Ich hoffe, es ist ok, wenn ich hier noch eine Frage stelle:
Wie kann man den Wert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \left( \alpha + \frac{1}{k} \right)^k \end{eqnarray*}$ berechnen? Es ist vielleicht einfach, aber ich sehe mal wieder nix...

06.09.2009, 19:28

Romaxx

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Ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ irgendwie vorgegeben?

06.09.2009, 19:37

ge88

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Sorry - bin irgendwie verplant heute.
Es ist $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Reihe sollte fuer $\begin{eqnarray*} \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ konvergieren.

06.09.2009, 20:00

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Zitat:

Original von ge88
Es ist vielleicht einfach

Denke ich eher nicht. unglücklich

06.09.2009, 20:04

Romaxx

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Sicher nur für $\begin{eqnarray*} \alpha<1 \end{eqnarray*}$ ?

Mit dem Wurzelkriterium ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\alpha+\frac{1}{n}\right)^n\right|}=|\alpha| \end{eqnarray*}$

06.09.2009, 20:08

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Zitat:

Original von Romaxx
Sicher nur für $\begin{eqnarray*} \alpha<1 \end{eqnarray*}$ ?

In der Tat: Für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq -1 \end{eqnarray*}$ divergiert die Reihe.

06.09.2009, 20:45

ge88

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Zitat:

Original von Romaxx
Sicher nur für $\begin{eqnarray*} \alpha<1 \end{eqnarray*}$ ?

Ok, es sollte $\begin{eqnarray*} |\alpha|<1 \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von ge88
Es ist vielleicht einfach

Denke ich eher nicht. unglücklich

Wie ist das zu verstehen?

07.09.2009, 09:19

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Das heißt, dass es mich schon sehr verwundern würde, wenn jemand einen geschlossenen Ausdruck (also ohne Summensymbol sowie "exotische" Funktionen) für den Reihenwert finden würde. Aber wie immer lasse ich mich gern eines besseren belehren. Augenzwinkern