Monotonie, Spiegel- u. Punktsymmetrie zeigen

07.09.2009, 12:50

Eva-S

Monotonie, Spiegel- u. Punktsymmetrie zeigen

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Monotonie, Spiegel- und Punktsymmetrie: Dabei sei der Definitionsbereich aller Funktionen R.

h(x) = x^3 -x

Leider habe ich zu diesem Thema noch viel in meinen Büchern finden können.
Wie gehe ich hier am besten vor bzw. wie fange ich an?

07.09.2009, 13:16

system-agent

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Anfangen könntest du damit die Definition von Monotonie, Spiegel- und Punktsymmetrie hinzuschreiben und dann zu überprüfen, ob deine Funktion diese Definition erfüllt.
Hinweis zur Monotonie: Ableitung.

07.09.2009, 14:43

Eva-S

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so sieht also meine Funtkion aus:

Ok, fange ich also mit der ersten Ableitung an.

Ist diese positiv steigt meine Funktion, ist diese negativ fällt sie. Korrekt?

$\begin{eqnarray*} h'(x) = 3x^2 - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x^2 - 1 > 0 = 3x^2 > 1 = x^2 > \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \pm\sqrt{ \frac{1}{3} } = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich wann h' eine Nullstelle hat, aber wie benutze ich das jetzt weiter?

07.09.2009, 16:27

system-agent

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Wie du doch eben geschrieben hast:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist monoton steigend, falls $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ positiv ist [es darf auch Null sein, warum?]
Analog dazu ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ monoton fallend falls $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ negativ ist [darf auch wieder Null sein, gleiche Begründung wie oben].

Das heisst:
Für $\begin{eqnarray*} x\in\left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ ... also ist die Funktion dort monoton .... .
Für $\begin{eqnarray*} x\in\left[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ ... also ist die Funktion dort monoton ... .
Für $\begin{eqnarray*} x\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}},\infty\right) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ ... also ist die Funktion dort monoton ... .

07.09.2009, 16:47

Eva-S

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Ich würde schreiben:

Für $\begin{eqnarray*} x\in\left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ positiv, also ist die Funktion dort (streng) monoton steigend.
Für $\begin{eqnarray*} x\in\left[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ negativ, also ist die Funktion dort monoton streng monoton fallend.
Für $\begin{eqnarray*} x\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}},\infty\right) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ wieder positiv, also ist die Funktion dort monoton ebenfalls streng monoton steigend. .[/quote]

Ist die erste Ableitung = 0, kann dies auch bedeuten das die Funktion konstant ist und einfach nur monoton, aber nicht streng monoton ist.
Meinstest Du das?

07.09.2009, 17:17

system-agent

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Das ist genau richtig Freude

Zitat:

Original von Eva-S
Ist die erste Ableitung = 0, kann dies auch bedeuten das die Funktion konstant ist und einfach nur monoton, aber nicht streng monoton ist.
Meinstest Du das?

Die Frage zielte darauf ab, wieso man überhaupt mit der ersten Ableitung argumentieren kann. Wenn ihr das im Unterricht besprochen habt ist das OK, andernfalls musst du noch folgendes begründen:
Falls $\begin{eqnarray*} f'(x)\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einem Intervall, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ monoton wachsend.
[Für monoton Fallend geht alles analog].

Deine Bemerkung ist aber auch richtig!

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