Beschränkt,Kompakt,Abgeschlossen

07.09.2009, 13:09

Gotteshand

Beschränkt,Kompakt,Abgeschlossen

Hi

$\begin{eqnarray*} M1 := {(x,y)\in \mathbb R^2 : |xy|<1, |x-1|<2} \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie, ob die Menge offen, beschränkt, abgeschlossen bzw. kompakt ist.

Beschränktheit heißt ja, wenn die Definitionsbereich "beschränkt" ist, aber das ist sie ja nicht in dem fall oder? man könnte nämlich theoretisch alle zahlen für x bzw. y einsetzen.
Abgeschlossen ist die Funktion auch nicht, da die Gleichung keine kleiner-gleich( $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ) Gleichung ist, sondern nur eine "<"
dadurch ist die funktion auch nicht kompakt.
D.h. da es nicht kompakt ist, ist es automatisch offen. stimmt das so? Big Laugh

07.09.2009, 13:28

system-agent

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RE: Beschränkt,Kompakt,Abgeschlossen

Zitat:

Original von Gotteshand
Beschränktheit heißt ja, wenn die Definitionsbereich "beschränkt" ist, aber das ist sie ja nicht in dem fall oder? man könnte nämlich theoretisch alle zahlen für x bzw. y einsetzen.

Deine Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, falls sie in einer genügend grossen offenen Kugel um 0 enthalten ist, also falls ein $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ existiert so, dass
$\begin{eqnarray*} M_1\subset B(0,R) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B(0,R)=\{(x,y)\in\mathbb R^2\quad:\quad x^2+y^2<R\} \end{eqnarray*}$

Zeige also, dass das nicht so ist.

Zitat:

Original von Gotteshand
Abgeschlossen ist die Funktion auch nicht, da die Gleichung keine kleiner-gleich( $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ) Gleichung ist, sondern nur eine "<"

Eine Funktion ist sicher nicht abgeschlossen, höchstens eine Menge.
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Zeige zb, dass die Menge offen ist.

Zitat:

Original von Gotteshand
dadurch ist die funktion auch nicht kompakt.
D.h. da es nicht kompakt ist, ist es automatisch offen. stimmt das so? Big Laugh

Eine Funktion kann auch nicht kompakt sein, höchstens eine Menge.
Aber OK, mit dem Satz von Heine-Borel muss eine kompakte Menge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ beschränkt und abgeschlossen sein.
Ist sie eines von beiden nicht, dann kann sie auch nicht kompakt sein.

07.09.2009, 13:29

Mathespezialschüler

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Hallo!
Das gehört nicht ins Algebra- sondern ins Analysis-Forum.

Warum redest du die ganze Zeit von einer Funktion? Es geht nicht um eine Funktion, es geht um eine Menge und nur für eine solche sind auch die angegebenen Eigenschaften sinnvoll.

Zitat:

Wie gesagt, hier ist keine Funktion, sondern eine Menge. Eine Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt, wenn es ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\|\leq r \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in M_1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Gotteshand
Abgeschlossen ist die Funktion auch nicht, da die Gleichung keine kleiner-gleich( $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ) Gleichung ist, sondern nur eine "<"

Das wäre für mich keine ausreichende Begründung.

Zitat:

Original von Gotteshand
dadurch ist die funktion auch nicht kompakt.

Wenn du "Funktion" durch "Menge" ersetzt, dann stimmt das.

Zitat:

Original von Gotteshand
D.h. da es nicht kompakt ist, ist es automatisch offen. stimmt das so? Big Laugh

Das ist falsch, das stimmt schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht. $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist nicht kompakt, aber es ist auch nicht offen!

edit: @system-agent

Zitat:

Original von system-agent
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Zeige zb, dass die Menge offen ist.

Damit hätte man noch keine Aussage über die Abgeschlossenheit der Menge (es sei denn, man steckt etwas Topologie hinein).

07.09.2009, 13:34

Gotteshand

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okay tut mir leid, dachte das wären "zwei" funktionen, die zusammen eine Menge bilden.

wie es aussieht, ist vieles falsch. wie zeige ich denn, dass eine Menge beschränkt ist, anhand dieses beispiels?
normalerweise hab ich eine menge gegen unendlich laufen lassen und geschaut ob es sich was nähert und das war dann die nicht dazugehörende "Grenze" aber bei dem Beispiel bin ich total überfordert. Dasselbe mit abgeschlossen.

07.09.2009, 16:37

system-agent

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Eine Menge kann auch nicht gegen unendlich laufen unglücklich

.

Nehmen wir doch mal an deine Menge ist beschränkt. Dann gibt es also einen positiven Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} M_1\subset B(0,R^2) \end{eqnarray*}$ , das bedeutet $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ist ganz in einer Kugel um 0 enthalten mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Das heisst insbesondere, dass für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in M_1 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<R \end{eqnarray*}$ gilt.
Kann das wirklich wahr sein?
[Hinweis: Die y-Achse hat die Eigenschaft, dass alle Punkte auf ihr die Form $\begin{eqnarray*} (0,y) \end{eqnarray*}$ haben].

Du musst zeigen dass die Menge offen ist. Dazu kannst du bemerken, dass $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ die Vereinigung von zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist, mit
$\begin{eqnarray*} A:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\quad:\quad |xy|<1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\quad:\quad |x-1|<2\} \end{eqnarray*}$

Bemerke, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine offene Kugel um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ von einem gewissen Radius ist, also offen.
Diesen Unsinn habe ich im unteren Beitrag verbessert !

Zeige nun noch, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen ist, dann folgt, dass $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ offen ist, denn die Vereinigung zweier offener Mengen ist wieder offen.
Dazu:
Sei $\begin{eqnarray*} p=(p_1,p_2)\in A \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |p_1\cdot p_2|<1 \end{eqnarray*}$ .
Finde nun ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} B(p,r)\subset A \end{eqnarray*}$ . Damit ist dann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen, da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ war.

@MSS
Ja, du hast recht. Demnach sollte Gotteshand sagen was er benutzen darf bzw was er über die Abgeschlossenheit weiss.

07.09.2009, 18:08

system-agent

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Tut mir leid, ich habe im oberen Beitrag etwas falsches gesagt:
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist keine Kugel, sondern ein "Streifen" der Breite 4 parallel zur y-Achse.
Auch hier musst du wohl mit der Definition der Offenheit herangehen:
Sei $\begin{eqnarray*} p=(p_1,p_2)\in B \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} -1<p_1<3 \end{eqnarray*}$ . Finde dann ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} B(p,r^2)\subset B \end{eqnarray*}$ ist. Das ist aber einfacher als für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

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