Grenzwert berechnen

07.09.2009, 14:25

Sonic-9

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Grenzwert berechnen

Hallo zusammen!

ich würde gerne folgende Aufgabe lösen:

"Stellen Sie fest, welche der nachstehenden Zahlenfolgen konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert"

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^{2} + 15n + 7} - 3n \end{eqnarray*}$

Ich hab mir jetzt einfach mal für n < 0 und n > 0 beliebige Zahlen eingesetzt und gemerkt, dass für n > 0 sich die Funktion an 2,5 annähert.

Wie kann ich meine Aussage jetzt noch rechnerisch beweisen?

danke vielmals im voraus!!!

07.09.2009, 14:35

guest09

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Sonic-9
Hallo zusammen!

ich würde gerne folgende Aufgabe lösen:

"Stellen Sie fest, welche der nachstehenden Zahlenfolgen konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert"

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^{2} + 15n + 7} - 3n \end{eqnarray*}$

Ich hab mir jetzt einfach mal für n < 0 und n > 0 beliebige Zahlen eingesetzt und gemerkt, dass für n > 0 sich die Funktion an 2,5 annähert.

Wie kann ich meine Aussage jetzt noch rechnerisch beweisen?

danke vielmals im voraus!!!

was habt ihr denn schon gelernt um grenzwerte zu bestimmen?

dass der ausdruck konvergiert kann man zB mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^{2} + 12n + 4} \leq \sqrt{9n^{2} + 15n + 7} \leq \sqrt{9n^{2} + 18n + 9} \end{eqnarray*}$

zeigen

hoffe, das hilft Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2009, 15:07

Q-fLaDeN

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Erweitere den Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^{2} + 15n + 7} - 3n \end{eqnarray*}$ so, dass du die 3. binomische Formel anwenden kannst.

08.09.2009, 22:02

Sonic-9

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Hallo!

zunächst mal danke für eure Antworten!

guest09 ich glaube so reicht mir das Augenzwinkern

Augenzwinkern

@q-fLaDeN:
ich würde das gerne so rechnen wie du es vorschlägst. kannst du mir nochmal weiterhelfen ich versteh das bisher noch nicht..

dritter Binom (a-b) (a+b)
ist hier die Wurzel a und
3n b?
und nun um (a+b) erweitern?

08.09.2009, 23:09

Mistmatz

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Zitat:

dritter Binom (a-b) (a+b)
ist hier die Wurzel a und 3n b?
und nun um (a+b) erweitern?

Richtig.

09.09.2009, 13:57

Sonic-9

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Ok.danke @ mistmatz.
Ich werde nachfolgend xn verwenden für den gesuchten Grenzwert:

Erweiterung um (a+b):

$\begin{eqnarray*} xn * (\sqrt{9n^{2} + 15n + 7} + 3n) = (\sqrt{9n^{2} + 15n + 7} - 3n) * (\sqrt{9n^{2} + 15n + 7} + 3n) \end{eqnarray*}$

und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} xn = \frac{(\sqrt{9n^{2} + 15n + 7} - 3n) * (\sqrt{9n^{2} + 15n + 7} + 3n)}{ (\sqrt{9n^{2} + 15n + 7} + 3n) } \end{eqnarray*}$

soweit richtig erweitert? und nun "einfach" noch ausrechnen?

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09.09.2009, 14:04

Mistmatz

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Ja soweit richtig, würdest du jetzt noch den Limes für n gegen Unendlich dazuschreiben smile

smile

Jetzt "einfach" ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2009, 14:37

Sonic-9

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Zitat:

Original von Mistmatz

Jetzt "einfach" ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

oh mann ich habs geahnt Augenzwinkern

Augenzwinkern

hab ich gerade leider schon probiert ohne Erfolg.. ich zeig mal meinen ersten Rechenschritt (viell. liegt da ja schon ein Fehler):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = \frac{ 9n^{2}+15n+7 - 9n^{2}}{ \sqrt{ 9n^{2} +15n+7 } +3n } \end{eqnarray*}$

und daraus dann noch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = \frac{ 15n+7 }{ \sqrt{ 9n^{2} +15n+7 } +3n } \end{eqnarray*}$

kann ich fortfahren ? smile

smile

09.09.2009, 14:53

Mistmatz

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Zitat:

kann ich fortfahren ?

Ja, alles richtig bisher Freude

Freude

[Edit: Bloß das hier, na ja... $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = \frac{ 15n+7 }{ \sqrt{ 9n^{2} +15n+7 } +3n } \end{eqnarray*}$

Das soll wohl heißen: $\begin{eqnarray*} G=\lim_{n\to\infty}\frac{15n+7}{\sqrt{9n^{2}+15n+7}+3n} \end{eqnarray*}$ Oder? smile

smile

]

09.09.2009, 15:03

Sonic-9

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sorry mistmatz wo find das G ?.

also gut dann bleib ich bei meiner Lösung.

ging so weiter

zunächst wollte ich die Wurzel durch quadrieren "entfernen"

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = \frac{ (15n+7)^{2} }{ \sqrt{ (9n^{2} +15n+7 } +3n)^{2} } \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{225n^{2}+210n+49}{9n^{2}+15n+7+9n^{2}} \end{eqnarray*}$

zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \frac{225n^{2}+210n+49}{18n^{2}+15n+7} \end{eqnarray*}$

druchmultiplizieren mit

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{n^{2} } \end{eqnarray*}$

dann bleibt ganz zum Schluß:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = \frac{225}{18} = \frac{25}{12} = 12,5 \end{eqnarray*}$

So. und wo ist jetzt der Fehler: es müsste doch 2,5 rauskommen. das ist doch der Grenzwert??

muss ich beim quadrieren auch die linke Seite quadrieren. ist das noch ein Rechenfehler? ich probiers mal noch kurz aus....

09.09.2009, 15:05

O. Becker

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RE: Grenzwert berechnen
Übrigens...

Ablesen lässt sich der Grenzwert bei Folgen dieser Bauart nach einer einfachen Umformung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^2+15n+7}-3n=\sqrt{\left(3n+\frac 52 \right)^2+\frac 34}-3n \end{eqnarray*}$

wenn Du Dir klar machst, dass das Grenzverhalten der Folge von der Konstanten unter der Wurzel (hier ist es die 7) unabhängig ist.

09.09.2009, 15:12

Bakatan

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also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\not= \frac{1²}{4²} \end{eqnarray*}$ nur so.
Den eigentlichen Grenzwert raus zu bekommen ist noch ne ziemliche Rechnerei.
edit: Es sei denn man kennt Becker's Umformung, welche genial ist.
edit2: Man kann nach seiner Umformung den Grenzwert nicht nur ablesen, sondern auch sofort ( und ohne l'hospital, was ich nicht geglaubt hätte Big Laugh

Big Laugh

) mit dem Vergleichskriterium beweisen.

09.09.2009, 15:12

Mistmatz

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Das G ist einfach nur der Zahlenwert, der als Grenzwert rauskommen soll. Hab grad gesehen: Du nennst diese Zahl x

Quadrieren ist keine gute Lösung, denn dann musst du die andere Seite auch quadrieren.

Vielmehr steht da, wenn du Unendlich einsetzt $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Dieser Ausdruck ist unbestimmt. Was macht man denn in so einem Fall? smile

smile

[Edit 1: Nochmal, die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x=... \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig, sondern in deinem Fall: $\begin{eqnarray*} x=\lim_{n\to\infty}... \end{eqnarray*}$

x ist hier der Grenzwert der rauskommt, wenn im Ausdruck hinter dem Limes n gegen unendlich strebt.]

[Edit 2: Oh ja, das von Becker ist gut Augenzwinkern

Augenzwinkern

]

09.09.2009, 15:28

Sonic-9

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@mistmatz: kannst du mir das nochmal erklären?

09.09.2009, 15:30

Sonic-9

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[quote]Original von Mistmatz
Vielmehr steht da, wenn du Unendlich einsetzt $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ . Dieser Ausdruck ist unbestimmt. Was macht man denn in so einem Fall? smile

smile

quote]

sorry meinte diese Frage

09.09.2009, 15:45

Mistmatz

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Kennst du die Regeln von L'Hospital?

(Obwohl man in diesem Fall auch ohne auskommt smile

smile

)

09.09.2009, 16:25

O. Becker

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Zitat:

Original von Sonic-9
sorry mistmatz wo find das G ?.

also gut dann bleib ich bei meiner Lösung.

ging so weiter

zunächst wollte ich die Wurzel durch quadrieren "entfernen"

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = \frac{ (15n+7)^{2} }{ \sqrt{ (9n^{2} +15n+7 } +3n)^{2} } \end{eqnarray*}$

Statt da zu quadrieren solltest Du lieber mal $\begin{eqnarray*} 3n \end{eqnarray*}$ ausklammern. Etwas so:

$\begin{eqnarray*} \frac{ 15n+7 }{\sqrt{ 9n^{2} +15n+7 } +3n}=\frac{5+\frac{7}{3n}}{\sqrt{1+\frac{5}{3n}+\frac{7}{9n^2}}+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Grenzwertsätze drauf loslassen - fertig!

Und die Regel von L'Hospital hat hier nichts zu suchen.

09.09.2009, 18:50

Q-fLaDeN

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@ Mistmatz
Auf L'Hospital wollte ich eigentlich nicht raus, das geht auch ohne.

@O. Becker
Bitte keine "Komplettlösungen". Hinweise geben ja, selbst rechnen nein.

09.09.2009, 18:55

Bakatan

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Also ich fand Becker's Antworten waren eher Tipps als Komplettlösungen. Den Grenzwert von 2,5 hatte OP ja schon ganz am Anfang vorgeschlagen und erst nachdem eine Weile Ruhe war hat er noch einen kleinen Tipp gegeben...

09.09.2009, 18:58

Q-fLaDeN

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Ok war vllt. ein bisschen übertrieben, aber ich finde der Tipp mit dem Ausklammern von 3n hätte gereicht. Sonic-9 hat die ganze Aufgabe ja schon gut selbst gelöst (die meisten müssen beim Tipp mit der 3. binomischen Formel erst nochmal nachfragen usw.) und hätte den Rest sicher auch noch geschafft Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, egal.

10.09.2009, 15:17

Sonic-9

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hey zusammen!danke für die vielen Ratschläge:

zuerst mal zur frage von mistmatz zurück:

meintest du, dass ich, da sich Unendlich durch Unendlich ergibt Hospital anwenden könnte?

jetzt wurde ja aber gesagt, dass hospital hier nix zu suchen hat... heißt das ich kann diese Aufgabe nicht mit hospital berechnen?

@becker: 3n ausklammer statt es zu quadrieren und anschließend grenzwertsätze. wie würde das funktionieren?
(ps: deinen ersten vorschlag hab ich mir schon ganz groß in die formelsammlung geschrieben - echt klasse idee smile

smile

sorry wenn ich mich hier nochmal blöd anstell. meine bisherigen aufgaben die ich probiert hab sind mir leicht gefallen, da ich immer nach folgenden "musterlösungen" vorgehen konnte: entweder höchste gemeinsame potenz ausklammern oder eben hospital. und bei dieser aufgabe fällt mir das beweisen mit diesen formeln schwer...

10.09.2009, 15:22

Sonic-9

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oh ich glaub mir fällt gerade noch die Lösung ein zu beckers vorschlag:

da die ganzen brüche "wegfallen" bleibt folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{ \sqrt{1}+1 } \end{eqnarray*}$

und somit 2,5! genial. ich lern hier gerade ganz schön dazu...!

10.09.2009, 15:25

Sonic-9

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und jetzt fällt mir noch auf, dass das ja eine meiner musterlösungen ist: höchste gemeinsame potenz ausklammern oder????

10.09.2009, 16:04

Sonic-9

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spart euch die antworten! hab´s verstanden! total genial!!!! danke an alle!!!!

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